Feature Column from the AMS

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Three Dangerous Statistical Mistakes - Understanding Statistics | Minitab

Erros estatísticos para serem evitados:

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An Introduction to Chaos Theory with the Lorenz Attractor

Video explica as dificuldades de se proceder a previsão meteorológica: Teoria de Caos, atrator de Lorenz, sensibilidade às condições iniciais.

Po

2+2 = 1? Patterns in Modular arithmetic « Maxwell's Demon

Aritmética modular: O anel dos inteiros módulo n, n>1:

2+2 = 1? Patterns in Modular arithmetic « Maxwell's Demon

Thomae's function - Wikipedia, the free encyclopedia

Função de Thomae: Contínua nos irracionais; descontínua nos racionais :

f(x)= {0, se x for irracional,

{1/q, se x for o número racional p/q.

Thomae's function - Wikipedia, the free encyclopedia

UnivHypGeom25: Geometer's Sketchpad and circles in Universal Hyperbolic Geometry - YouTube

Geometria Hiperbólica com o programa de Geometria Geometer's Sketchpad: UnivHypGeom25: Geometer's Sketchpad and circles in Universal Hyperbolic Geometry - YouTube

GeoGebra Calculus Applets

GeoGebra Calculus Applets

Algebraic Surfaces Gallery

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Squares in Squares

Empacotamento de quadrados: Squares in Squares

Spotting patterns and finding explanations: Dijkstra’s fusc function — Republic of Mathematics blog

Exemplo de algoritmo simples de matemática construtiva com resultado interessante: Função fusc de Dijkstra: Spotting patterns and finding explanations: Dijkstra’s fusc function — Republic of Mathematics blog

Unsolved Problems -- from Wolfram MathWorld

Para quê preocupar-se com números transcendentes; eis uma lista de problemas não resolvidos, a maioria dos quais trata de números inteiros: Unsolved Problems -- from Wolfram MathWorld

How many real numbers are there?

A hipótese do Contínuo, ainda não provada, nem verdadeira nem falsa, na axiomática de Zermelo-Fraenkel: How many real numbers are there?

Modelling behaviour: Game theory in practice | The Economist

Exemplo de uso de Teoria de Jogos para tentativa de solução de problemas no mundo real: previsão de eventos políticos, sociais, econômicos, e militares: negociação: Modelling behaviour: Game theory in practice | The Economist

A brief introduction to Rational Trigonometry

Trigonometria racional: A brief introduction to Rational Trigonometry

A/Prof N J Wildberger Personal Pages

O Professor Norman Wildberger da UNSW da Austrália coloca em xeque os fundamentos da Matemática, em particular a axiomatização da Lógica e da Teoria de Conjuntos (o problema do infinito), exigindo uma mudança de postura e nova forma de se fazer Matemática. Ele enfatiza o que é construtível, finito, computável, representável, calculável, expresso em número finito de passos: A/Prof N J Wildberger Personal Pages

A/Prof N J Wildberger Personal Pages

Professor Norman Wildberger faz crítica autorizada sobre a Teoria de Conjuntos da Matemática moderna, e cita alguns dos maiores matemáticos da história como Gauss, Kronecker e Weyl que rejeitaram a teoria de conjuntos de Cantor: A/Prof N J Wildberger Personal Pages

IREM | La mathématique expérimentale

Palestra de V.I. Arnold, famoso matemático russo, na Universidade de Paris. Ele fala sobre fundamentos da Matemática, Filosofia e História da Matemática: IREM | La mathématique expérimentale

Multiggbfiles (Daniel Mentrard)

Poliedros de Arquimedes: Multiggbfiles (Daniel Mentrard)

Platonic Solids -- Sage

Página com os sólidos platônicos construídos com o programa Sage: Platonic Solids -- Sage

The Role of Mistakes in the Classroom | Edutopia

Excepcional artigo sobre educação, aborda a questão dos erros em sala de aula, tolerância aos erros, sua função no processo de aprendizado, e problemas decorrentes de atitude incorreta em relação aos erros. : The Role of Mistakes in the Classroom | Edutopia

Sage Notebook

Sage: software matemático "open source" opção a programas como Mathematica, Mapple, etc. Sage Notebook

Hospital installs tricorder-like health-analysis facility | News | The Engineer

Análise multivariância utilizada em análise clínica com sistema inspirado no tricorder da série Star Trek: Hospital installs tricorder-like health-analysis facility | News | The Engineer

Major mathematical advances past age fifty - MathOverflow

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docserver.carma.newcastle.edu.au/150/2/01_165-Borwein.pdf

Aesthetics for the Working Mathematician: docserver.carma.newcastle.edu.au/150/2/01_165-Borwein.pdf

www.math.wisc.edu/~boston/869.pdf

e-book com prova do Último Teorema de Fermat: www.math.wisc.edu/~boston/869.pdf

Lists of mathematics topics - Wikipedia, the free encyclopedia

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Fractais

    Fractais são objetos matemáticos com infinitos pontos, quantidade não enumerável de pontos; o que se vê em programas de computação gráfica não são fractais, mas apenas representações grosseiras de fractais. O que para um matemático é apenas uma aproximação grosseira de um fractal, para um não-matemático é um fractal.

    Dificuldade insolúvel já aparece com números racionais; com os números irracionais, que constituem a quase totalidade dos números chamados de “reais”, a dificuldade aumenta . Por exemplo, o número 1/3 ( um terço) pode aparecer representado num computador, como aparece nesta frase, porém não se pode fazer contas com ele de modo direto. Isto porque 1/3=0,333… é uma dízima periódica, de modo que é necessário uma quantidade infinita de memória para guardá-lo em registro para se proceder a cálculos .  Mas não existe nenhum computador com quantidade infinita de memória. Assim, o ponto (1/3, 1) do plano cartesiano não pode ser plotado em uma tela de computador! O que se faz, na prática, é, por exemplo,  plotar o ponto (0,333, 1), que é uma aproximação grosseira do ponto (1/3, 1).

Dead Reckonings » The Art of Nomography I: Geometric Design

Artigo sobre Nomografia, técnica de cálculo utilizado em Engenharia antes do aparecimento das calculadoras modernas e dos computadores:Dead Reckonings » The Art of Nomography I: Geometric Design

Egyptian tomb mystery may be world's first protractor - physics-math - 29 July 2011 - New Scientist

Objeto encontrado em tumba egípcia pode ser o primeiro transferidor de ângulos: Egyptian tomb mystery may be world's first protractor - physics-math - 29 July 2011 - New Scientist

Mathematics - Wikipedia, the free encyclopedia

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Constructive Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Constructive Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

‪Canal de njwildberger‬‏ - YouTube

Matemática Construtiva: apresentação da matemática construtiva e exposição‪ de problemas dramáticos da matemática moderna, do problema do contínuo: Canal de njwildberger‬‏ - YouTube

YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

Seminário do professor da Universidade New South Wales, Norman Wildberger, sobre geometria hiperbólica aplicada à teoria de relatividade, sem utilizar conceitos de distância, ângulo, números reais, conjuntos infinitos, infinito e asemelhados. Utiliza-se de conceitos como quadrância, abertura "spread", conjuntos finitos, números racionais, e forma quadrática alternativa: YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

Linear Programming with GeoGebra - Example 2

Aprenda Programação Linear com o software GeoGebra:

YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

Aula sobre bases de polinômios: polinômios de Lagrange, Bernstein, Chebishev, e bases polinomiais de "spread". Aproximações de funções por polinômios.YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

Curso de Álgebra Linear: YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

eands.caltech.edu/articles/Apostol Feature.pdf

Resolução geométrica de problemas de Cálculo Diferencial e Integral- método do matemático Mamikon A. Mnatsakanian: eands.caltech.edu/articles/Apostol Feature.pdf

MathHistory7a: Analytic geometry and the continuum

Com o surgimento da Geometria Análitica, Aritmética (Teoria de Números), Geometria e Álgebra se unem numa poderosa teoria que propiciou o surgimento do Cálculo (nos moldes cartesianos) e influenciou toda a ciência moderna.

Aqqq

YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

Trigonometria com números racionais: com este método, com o uso de "spreads" em vez de ângulos, consegue-se soluções exatas, ao invés de soluções aproximadas e trabalhosas como as obtidas com a trigonometria convencional: YouTube - ‪Canal de njwildberger‬‏

American Mathematical Society :: June 21011 Feature Column

A distribuição normal, utilizada em análise estatística: American Mathematical Society :: June 21011 Feature Column

Wolfram Blog : What Shall We Do with the Drunken Sailor? Make Him Walk the Plank!

O problema do marinheiro bêbado na prancha, dado em cursos introdutórios de Computação: Wolfram Blog : What Shall We Do with the Drunken Sailor? Make Him Walk the Plank!

Chinamax, Panamax, Suezmax e Minimax

       

          Navios de padrão Chinamax são projetados de acordo com as dimensões dos portos chineses, assim como os navios Panamax são  adaptados ‘as dimensões do Canal do Panamá, e os Suezmax são adaptados ‘as dimensões do Canal de Suez.

           Dada uma coleção finita de conjuntos finitos C1,…,Cn, (e aqui as finitudes são essenciais), define-se o valor minimax(C1,…,Cn) como o mínimo dos máximos destes conjuntos.  Neste caso, os máximos sempre existem pois os conjuntos são finitos, e os mínimos sempre existem pois a coleção é finita.

           Definida a rota do navio, que depende de decisão logística e financeira, normalmente anterior ao projeto do navio, encontrar a dimensão ótima para a largura de navio é um problema de encontrar-se o valor minimax das variáveis de projeto naval como, por exemplo, a largura.  A largura ótima é a mínima de todas as larguras máximas permitidas pelas dimensões dos canais e portos pelos quais o navio vais passar. Observe-se que a largura ótima é a que maximiza o volume transportado, considerando-se um orçamento já definido. No caso dos navios tipo Chinamax, como a largura é superior ‘a do Canal do Panamá e do Canal de Suez, depreendo que sua rota não passa por estes canais, e deve passar pelo extremo sul da América do Sul e pelo oceano Pacífico, ou pelo extremo sul da África e pelo oceano ìndico, a depender da época do ano e do ponto de partida. Em todo caso, o projeto Chinamax deve ter seguido as dimensões dos portos chineses, construídos ou por construir. Caberia agora investigar se os portos e os navios Chinamax fazem parte de projeto de dimensionamento  conjunto.

mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Grabiner841-852.pdf

Newton, Maclaurin, origem do cálculo e do método científico: mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Grabiner841-852.pdf

Functional Equations - EqWorld

Lista de equações funcionais: Functional Equations - EqWorld

Equações Funcionais

     Uma equação funcional é uma equação em que as suas soluções são funções (e não um número ou qualquer outro objeto) e que se apresentam em expressões como as seguintes.

     Exemplos:  (f função de uma variável)

        f(x+y)=f(x)*f(y)    é satisfeita pela função exponencial. (* representa a multiplicação)

        f(x*y)=f(x)+f(y)    é satisfeita pela função logarítmica.

        f(x*y)=f(x)*f(y)    é satisfeita pela função potência    f(z)=(z)^a  (a é uma constante). 

Famous Curves Index

Veja esta lista de curvas planas. Elas são a realização de mais de 2300 anos de história da Matemática. Algumas são utilizadas em Engenharia, Estatística, dentre outras: Famous Curves Index

Funções Implícitas

       As funções matemáticas mais comuns admitem um expressão algébrica y=f(x), para função de uma variável,  y=f(x,z), y=f(x,z,w) ou y=f(x1,x2,…,xn) para funções de várias variáveis, em que a variável dependente é isolada das variáveis dependentes.

        Mas em muitos casos, talvez os mais importantes, não é possível encontrar uma expressão algébrica em que a variável dependente é isolada das variáveis independentes como as expressões dadas acima. São as chamadas funções implícitas. São dadas por expressões do tipo F(x,y)=0, F(x,y,z)=0, F(x1,x2,…,xn)=0, em que as F são funções polinomiais, funções racionais, etc.

 

        Exemplos: x^2+y^2=1 (esfera no plano)

                       x1^2+x2^2+…+xn^2=1 (esfera de dimensão n)

                       x^2+xy+y^2/z^2+zw+w^2=1

                    Observar que  para a parábola y=x^2 não se pode tirar x como função de y (há dois ramos). 

Números Construtíveis com Régua e Compasso

     Consideremos os pontos da reta real, no plano, que podem ser construídos com régua, sem escala, e compasso, com um ponto inicial, o zero, e outro ponto que se convenciona ser o 1. 

   Os números inteiros são construtíveis a partir da transferência do segmento [0,1] com o compasso. Assim, constrói-se o 2,3,4,… e os números negativos  …,–3, –2, –1.

    O produto de dois números construtíveis a e b é um número construtível. Para provar isto basta considerar triângulos-retângulos encaixados de lados 1, a, b e utilizar semelhança de retângulos.

    O quociente de números construtíveis p e q, q diferente de zero, é um número construtível. Para provar isto basta considerar triangulos retângulos encaixados, o maior com um lado 1.  Em particular, os números racionais são construtíveis, e todo número construtível p, diferente de zero, admite um inverso  1/p.

    Observar que existem alguns números irracionais, como a raiz de 2, hipotenusa do triângulo-retângulo de lados 1, que são construtíveis.

    Valem as propriedades associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso, das operações de soma e multiplicação, e as distributivas.

    Portanto, o conjunto dos números construtíveis é um corpo algébrico.  Outros exemplos de corpos são os conjuntos dos números racionais, reais, complexos.

   PS: Nem todo número é construtível com régua e compasso. Por exemplo, raíz de 3, que no entanto é um número algébrico, como raíz do polinômio x^2=3.

O Teorema de Markov e Médias Aritméticas

     Problema: Dado um conjunto S={x1,…,xn} com elementos positivos (>=0) com média aritmética m, ((x1+x2+…+xn)/n)=m, quantos elementos de A, no máximo, podem ser maiores do que m?     

      Exemplo: Um lote de 60 diamantes contém diamantes cuja média de quilates é 200. Quantos diamantes, no máximo, deste lote, podem ter 300 quilates ou mais?

       Solução: resolver a equação:  300x+r=60*200.   300x+r=12000. Para x=39, tem-se 300*39=11700, e r=300. Não se pode somar mais um diamante de 300 quilates.  Portanto, 39 é o número máximo de diamantes com mais de 300 quilates deste lote.

         Há várias variações deste tipo de  problema. Uma generalização é expressa no seguinte teorema.

    Teorema de Markov:  Dados um conjunto de números  A={x1,x2,…,xn}, xj>=0, j=1,..,n,  k>0, m a média aritmética de A, então a proporção de elementos de A que sejam maiores do que k é menor ou igual a m/k.  (referência: livro Estatística Aplicada – John E. Freund-2006).

        Observar que se houver uma limitação inferior diferente de 0  para os elementos de A, então tem-se uma nova categoria de problemas que exige novas soluções.

Avaliação, Ranking e Seleção

 

      Exponho a seguir um exemplo que mostra a dificuldade de definição e aplicação de uma estatística em um processo de avaliação.

Tabela 1: Notas de 10 alunos, em escala de 0 a 100, avaliados em quatro disciplinas:

	disciplina1	disciplina2	disciplina3	disciplina4	soma
aluno1	81	81	81	99	342
aluno2	82	82	82	95	341
aluno3	83	83	83	91	340
aluno4	84	84	84	87	339
aluno5	85	85	85	83	338
aluno6	86	86	86	79	337
aluno7	87	87	87	75	336
aluno8	88	88	88	71	335
aluno9	89	89	89	67	334
aluno10	90	90	90	50	320

  Observa-se que o aluno1 é o melhor e o aluno10 é o pior segundo o critério de soma de pontos das disciplinas (tabela 1). Se for considerada a média aritmética das posições de um aluno nas disciplinas, tem-se resultado totalmente contrário: o aluno1 é o pior e o aluno10 é o melhor   (Tabela 2). 

 

Tabela 2: Posições de alunos nos rankings de diversas disciplinas.

	disciplina1	disciplina2	disciplina3	disciplina4	média
aluno1	10	10	10	1	7,75
aluno2	9	9	9	2	7,25
aluno3	8	8	8	3	6,75
aluno4	7	7	7	4	6,25
aluno5	6	6	6	5	5,75
aluno6	5	5	5	6	5,25
aluno7	4	4	4	7	4,75
aluno8	3	3	3	8	4,25
aluno9	2	2	2	9	3,75
Pedro	1	1	1	10	3,25

Na tabela 2, quanto mais baixa a média aritmética de um aluno, mais alto ele está situado no ranking geral.

Tem-se duas estatíticas, a da soma de notas ou pontos, e a da soma de posições, e que fornecem resultados totalmente opostos. Isto mostra como a utilização de uma estatística inadequada ou viciada pode causar danos irreparáveis dentro de um processo seletivo, seja dentro de uma escola ou universidade, seja em um concurso público.

O Axioma da Escolha

    O axioma da escolha, que é um axioma chave da Matemática, não tem validade universal, i.e., pode ser válido, em termos de definição formal, não necessariamente construtiva, para coleções enumeráveis de subconjuntos dos números inteiros, mas não vale para toda a teoria de conjuntos ZF. Isto significa que parte considerável dos teoremas da Matemática, principalmente da Análise Funcional, Teoria de Operadores, Álgebra Linear não tem a validade que se esperava. Por exemplo, não vale necessariamente que todo espaço vetorial admite uma base. Se não, vejamos:

     Lema de Zorn: Todo conjunto parcialmente ordenado, em que toda cadeia admita um majorante, admite pelo menos um elemento maximal. (Observe-se que o elemento majorante não pecisa pertencer à cadeia).

    Contra-exemplo:  Seja S a coleção de todos os intervalos fechados do intervalo aberto (0,1).  S é um conjunto parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos.  Toda cadeia em S admite majorante como por exemplo o intervalo fechado [0,1], que não pertence à S.  Porém S não admite um elemento maximal. O intervalo fechado [0,1], embora possa ser um candidato natural, não é um elemento maximal de S, pois por definição não pertence a S.    

     Em ZF são equivalentes: 1) axioma da escolha; 2) Lema de Zorn; 3) Tricotomia ( para todos x, y, tem-se x<=y ou y <=x); 4)  Princípio da Boa Ordem ; 5) Dada uma coleção de conjuntos disjuntos não-vazios, existe um conjunto com um único representante de cada conjunto da coleção. (Ver Elliott Mendelson – Introduction to Mathematical Logic, pg 197, par. 5).

     O contra-exemplo acima implica que as equivalências acima não tem validade universal. Isso quer dizer que devem existir coleção de conjuntos que não admita função escolha, conjunto parcialmente ordenado que não satisfaz o lema de Zorn (p.ex., o contra-exemplo acima), conjunto que não pode ser bem ordenado, e conjunto com elementos x, y, tal que não se consiga decidir se x<=y ou y<=x.  (Aqui <= é uma relação de ordem arbitrária, não necessariamente uma relação de ordem da Aritmética).

PS: A única Matemática com válidade universal é a Matemática Construtivista que, grosso modo, é a que trabalha com os números inteiros e objetos que possam ser construídos.   

PS: Os termos técnicos utilizados são indispensáveis para o texto.