O Teorema de Markov e Médias Aritméticas

     Problema: Dado um conjunto S={x1,…,xn} com elementos positivos (>=0) com média aritmética m, ((x1+x2+…+xn)/n)=m, quantos elementos de A, no máximo, podem ser maiores do que m?     

      Exemplo: Um lote de 60 diamantes contém diamantes cuja média de quilates é 200. Quantos diamantes, no máximo, deste lote, podem ter 300 quilates ou mais?

       Solução: resolver a equação:  300x+r=60*200.   300x+r=12000. Para x=39, tem-se 300*39=11700, e r=300. Não se pode somar mais um diamante de 300 quilates.  Portanto, 39 é o número máximo de diamantes com mais de 300 quilates deste lote.

         Há várias variações deste tipo de  problema. Uma generalização é expressa no seguinte teorema.

    Teorema de Markov:  Dados um conjunto de números  A={x1,x2,…,xn}, xj>=0, j=1,..,n,  k>0, m a média aritmética de A, então a proporção de elementos de A que sejam maiores do que k é menor ou igual a m/k.  (referência: livro Estatística Aplicada – John E. Freund-2006).

        Observar que se houver uma limitação inferior diferente de 0  para os elementos de A, então tem-se uma nova categoria de problemas que exige novas soluções.