Números Construtíveis com Régua e Compasso

     Consideremos os pontos da reta real, no plano, que podem ser construídos com régua, sem escala, e compasso, com um ponto inicial, o zero, e outro ponto que se convenciona ser o 1. 

   Os números inteiros são construtíveis a partir da transferência do segmento [0,1] com o compasso. Assim, constrói-se o 2,3,4,… e os números negativos  …,–3, –2, –1.

    O produto de dois números construtíveis a e b é um número construtível. Para provar isto basta considerar triângulos-retângulos encaixados de lados 1, a, b e utilizar semelhança de retângulos.

    O quociente de números construtíveis p e q, q diferente de zero, é um número construtível. Para provar isto basta considerar triangulos retângulos encaixados, o maior com um lado 1.  Em particular, os números racionais são construtíveis, e todo número construtível p, diferente de zero, admite um inverso  1/p.

    Observar que existem alguns números irracionais, como a raiz de 2, hipotenusa do triângulo-retângulo de lados 1, que são construtíveis.

    Valem as propriedades associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso, das operações de soma e multiplicação, e as distributivas.

    Portanto, o conjunto dos números construtíveis é um corpo algébrico.  Outros exemplos de corpos são os conjuntos dos números racionais, reais, complexos.

   PS: Nem todo número é construtível com régua e compasso. Por exemplo, raíz de 3, que no entanto é um número algébrico, como raíz do polinômio x^2=3.

O Teorema de Markov e Médias Aritméticas

     Problema: Dado um conjunto S={x1,…,xn} com elementos positivos (>=0) com média aritmética m, ((x1+x2+…+xn)/n)=m, quantos elementos de A, no máximo, podem ser maiores do que m?     

      Exemplo: Um lote de 60 diamantes contém diamantes cuja média de quilates é 200. Quantos diamantes, no máximo, deste lote, podem ter 300 quilates ou mais?

       Solução: resolver a equação:  300x+r=60*200.   300x+r=12000. Para x=39, tem-se 300*39=11700, e r=300. Não se pode somar mais um diamante de 300 quilates.  Portanto, 39 é o número máximo de diamantes com mais de 300 quilates deste lote.

         Há várias variações deste tipo de  problema. Uma generalização é expressa no seguinte teorema.

    Teorema de Markov:  Dados um conjunto de números  A={x1,x2,…,xn}, xj>=0, j=1,..,n,  k>0, m a média aritmética de A, então a proporção de elementos de A que sejam maiores do que k é menor ou igual a m/k.  (referência: livro Estatística Aplicada – John E. Freund-2006).

        Observar que se houver uma limitação inferior diferente de 0  para os elementos de A, então tem-se uma nova categoria de problemas que exige novas soluções.