Princípio da Boa Ordem

    Há alguns axiomas da Matemática Clássica,  não-construtivista, que considera objetos que não podem ser construídos, nem com algoritmo finito nem com algoritmo infinito enumerável. Pode-se pensar que essa abstração seja uma manifestação da “beleza” da Matemática, ou, simplesmente manifestação de temerariedade científica. Em todo caso, parece-me que a consequência dessa abstração não seja muito frutífica, pois não conheço nenhum resultado prático importante decorrente de tais teorias abstratas que não sejam obtidos por matemática construtivista.  Um exemplo é o axioma da escolha, tratado em uma outra postagem. Outro exemplo, tratado a seguir, é o do Princípio da Boa Ordem, tão controvertido quanto o axioma da escolha, lema de Zorn, e outros. Em último caso, esses axiomas controvertidos podem ser inseridos no enunciado de teoremas, segundo a conveniência, sem serem admitidos como axiomas da teoria geral. Ao serem admitidos no corpo de axiomas da teoria geral, passam a definir o que é e o que não é verdade absoluta, e o estrago é total à Matemática que definem. Como mentira bem contada, tem aparência de verdade, sendo válidos para os casos de conjuntos finitos e para o conjunto dos números naturais.

   O Princípio da Boa Ordem afirma que todo conjunto pode ser bem ordenado. Isto significa que para cada conjunto X existe uma relação de ordem R (pode-se pensar na relação de ordem <= da aritmética dos números inteiros, como exemplo) tal que (X,R) é totalmente ordenado (i.e., para todos x,y em X,  xRy ou yRx) e todo subconjunto Y de X contém um elemento minimizante b (i.e., bRx para todo elemento x de Y).

   Por exemplo, o conjunto dos números naturais N= {0,1,2,3,…} é bem ordenado pela relação de ordem <=, menor ou igual. Como  N é limitado inferiormente, todo subconjunto de N contém elemento mímino, que é, em particular, elemento minizante.

   Para conjuntos com cardinalidade mais elevada, não é nada óbvio como se define uma relação de ordem que faça com que esse conjunto seja bem ordenado. Pode mesmo acontecer de não haver nenhum algoritmo finito ou infinito enumerável para a definição de uma relação de ordem adequada para uma boa ordem. Além do mais, considerando-se o conjuntos dos números inteiros Z, com cardinalidade alefe zero, e o operador P, das partes de um conjunto, constrói-se  o conjunto P(Z) com cardinalidade alefe um, o conjunto P(P(Z)) com cardinalidade alefe dois, o conjunto P(P(…(P(Z))…), n vêzes, com cardinalidade alefe n, e assim por diante.

   Outro fato que cabe notar é como a simplicidade da teoria (veja a axiomática ZF a seguir) destoa da complexidade dos teoremas da Matemática Clássica, em especial da Topologia, da Análise Funcional e da Álgebra Abstrata, provados com a sua adoção.

   Axiomática Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, que é uma axiomática padrão da Matemática Clássica:

  (1) Axioma de Existência : Existe um conjunto sem nenhum elemento. (conjunto vazio)

  (2) Se todo elemento de X for elemento de Y, e se todo elemento de Y for elemento de X, então X=Y.

(3) Seja P(x) uma propriedade. Para cada A existe B tal que x pertence a B se, e somente se, x for elemento de A e P(x) (x satisfaz à propriedade P).

  (4) Axioma do Par: Para cada A e B existe C tal que x pertence a C se, e somente se, x=A ou x=B.

  (5) Axioma da União: Para cada S existe U tal que x é elemento de U se, e somente se, x for elemento de A, para algum A elemento de S.

  (6) Axioma das Partes: Para cada S existe P tal que x é elemento de P se, e somente se, x estiver contido em S.

  (7) Existe um conjunto indutivo (I é um conjunto indutivo se 0 está em I, e para cada x em I, S(x)=x união com {x}, o sucessor de x,  também estiver em I).

  (8) Seja P(x,y) uma propriedade tal que para cada x existe um único y para o qual P(x,y) valha. Para cada A existe B tal que para cada x em A existe y em B para o qual P(x,y) valha.

  (9) Axioma da Escolha: Toda coleção de conjuntos admite uma função escolha.

P.S.: Esta e outras axiomáticas podem ser obtidas em qualquer livro de Teoria de Conjuntos. Veja a axiomática GNB.

Matemática Construtivista: Computabilidade e Axioma da Escolha

    A Matemática Clássica, com o axioma da escolha, admite muitos resultados como verdadeiros, que não são admitidos em matemáticas construtivistas, e existem algumas (intuicionista de Brower, por exemplo).  Matemática Construtivista não admite o axioma da escolha. Logo, resultados clássicos tais como Lema de Zorn, Teorema da Boa Ordem, e um grande número de teoremas da Matemática Clássica não são demonstráveis, e nem devem ser admitidos como verdadeiros neste ambiente lógico. Por exemplo, a existência de uma base para um espaço vetorial, que é um resultado elementar da Álgebra Linear e da Análise Funcional, não pode ser demonstrada sem o Axioma da Escolha.

    Axioma da escolha:  Dada uma coleção de conjuntos não vazios, {Cj}, j em J, existe uma função, a função de escolha, de J à união dos Cj, que associa um elemento do conjunto J a um elemento de Cj.

    Há várias dificuldades, muitas vêzes intransponíveis, para a determinação da função escolha:  Inexistência de algoritmo para a determinação de um elemento de um Cj, impossibilidade de expressão finita para a função escolha, complexidade de definição dos Cj, cardinalidade elevada dos Cj e de J, aleatoriedade de construção dos Cj.

    O axioma da escolha é controvertido. É um erro considerá-lo  indiscutível, amplamente aceito, e acima de qualquer suspeita, ao ser ensinado nos cursos de graduação. Muitos dos melhores matemáticos dos século XX e dos atuais não o aceitaram.  Além do mais, os resultados obtidos com a adoção do Axioma da Escolha,  pelo que sei, são nulos  concernente a aplicação e interesse prático.  Para obter mais informações pesquise os trabalhos de Eric Schechter, E. Bishop e F. Richman.

Estatística – Representação de Dados e Bancos de Dados

 

       Muito raramente há uma decisão governamental típica, empresarial típica, ou científica aplicada típica que não utilize algum recurso estatístico de representação de dados amostrais.   São exemplos as tabelas e gráficos (função, distribuição de frequência, função de frequência acumulada,  função densidade de probabilidade, função de probabilidade acumulada, polígono de frequência, polígono de frequência acumulada, polígono de porcentagem acumulada ou ogiva, histogramas,  diagramas tipo pizza, etc), e mapas (mapas de países com representação de alguma variável tal como PIB, PNB, população, índice de inflação, etc).

   A partir da representação de dados e de uma teoria de probabilidades apropriada ao caso em consideração associado aos dados obtidos, procede-se à análise de dados.

  Representações de dados, para uma posterior análise, são preparadas para se obter informações para se conseguir alguma certeza em um ambiente ou situação de incerteza, para tomada de decisões. Normalmente são decisões administrativas, governamentais ou empresariais, de aplicação direta ou indireta, de controle de informação ou de decisão efetiva, de decisão imediata ou de planejamento, de decisão interna ao País ou de decisão que envolve elementos de outros países, decisões administrativas finais ou subsidiárias a decisões de outra ordem (por exemplo, jurídicas), exploratórias ou confirmatórias (por exemplo, para confirmar ou refutar uma teoria científica).

P.S.: Os programas de computador, chamados de planílhas de cálculo, são feitos justamente para se  construir tabelas e gráficos para análise estatística, normalmente a partir de um banco de dados preexistente.

Juros: Nominais, Efetivos e Reais

Consideremos apenas juros compostos ou exponenciais.  Há basicamente três tipos de juros cobrados no sistema financeiro, por bancos e instituições financeiras, corretoras de seguros, Banco Central, corretoras de planos de capitalização,  lojas de varejo, lojas virtuais (da web) e particulares: juros nominais, juros efetivos e juros reais.

      Juros nominais são os definidos no contrato, sem considerar outros detalhes contratuais ou a inflação. Exemplo: empréstimo de R$ 1000,00 reais por seis meses para receber R$1200,00. Neste caso os juros nominais são de 20% por semestre.

      Juros efetivos são os juros nominais corrigidos por algum detalhe de contrato. Exemplo: empréstimo  de R$ 1000,00 reais por seis meses para receber R$1200,00, com a obrigação de manter R$100,00 na conta pertinente. Neste caso, os juros nominais são de 20% por semestre, mas os juros efetivos  são de 22,22% por semestre.

     Juros reais são os juros efetivos corrigidos considerando-se a inflação monetária.  Exemplo: empréstimo de R$1000,00 reais por seis meses  para receber R$1200,00, com a obrigação de manter R$100,00 na conta pertinente, com inflação de 5% em seis meses. Os juros nominais são de 20% por semestre, os juros efetivos são de 22,22% por semestre, e os juros reais são de 16,40% por semestre.

Observe-se que se não houver nenhuma cláusula contratual adicional nem efeitos inflacionários, então os juros nominais, os juros efetivos e os juros reais coincidem.

Fractais

Exemplo de fractal:

 

   Fractais são objetos matemáticos definidos por equações ou por  algorítmos, e que apresenta uma certa propriedade geométrica de auto-replicação infinita. Uma certa  parte do objeto é, de um certo modo, igual ao todo. Veja o fractal de triângulos a seguir para entender isso.

    Observe-se que, como um fractal tem auto-replicação infinita, então os objetos da natureza não são, matematicamente falando, fractais, pois estes são infinitos e aqueles são finitos.

    Construção de um fractal:

        Há vários tipos de  métodos de construção de fractais. Todos os que eu conheço são definidos por algum tipo de iteração, finita ou infinita.

        Construção de fractais por equações:  Define-se uma equação iterativa:  Z:=z^n+c, sendo c uma constante complexa (número complexo), e z uma variável complexa, e n un número real. Considera-se um ponto p. Substitui-se na equação, de modo que se obtem p^n+c. Substitui-se outra vez, e assim por diante, até a n-ésima vez.  Considera-se A um conjunto base do plano complexo, e  um conjunto B do plano complexo, tal que A esteja contido em B. Considera-se um conjunto de regras sobre (Z:+z+c, A, B). Pinta-se um ponto p de A de uma dada cor (p. ex. vermelho) se p satisfaz à regra, e de outra cor, se satisfaz a outra regra (p. ex. azul). Pode-se utilizar a regra: p satisfaz  R(n,A,B)  se p pertence a A,  e ao se aplicar a fórmula Z:=z+c n vezes, obtem-se um ponto fora de B.

       Pode-se complicar o quanto se quiser este tipo de algoritmo. Pode-se considerar uma equação, um sistema de equações, um sistema de sistemas de equações, etc.     Quanto mais complexo o sistema de equações, mais complexo tende a ser o fractal.

       Exemplo de fractal geométrico: Parte-se de um triângulo amarelo em fundo azul. Pinta-se de azul o triângulo interno, o triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo em consideração. Pinta-se de azul todos os triângulos interiores dos triângulos obtidos na etapa anterior. Repete-se infinitamente este procedimento. O resultado é um fractal. A seguir está uma representação truncada deste fractal. 

   Há exemplos tridimensionais deste tipo de fractal.

   Outro exemplos:

   

Séries temporais

    Séries temporais são sequências de números ou letras ou o que neles se possa expressar, tais como características ou postos, associados a períodos iguais de tempo.

   Exemplos de séries temporais:

       Temperaturas médias de uma cidade, medidas diariamente.

       Cotação de ação negociada em bolsa de valores.

       Preço médio da saca de café divulgado diariamente.

       Índice de preço ao consumidor divulgado diariamente.

       Série de peças produzidas por uma máquina à qual se atribui o rótulo S = sem defeito ou F = com defeito.

Exemplo: Série temporal de números:

y	10	10.1	12	20.2	13	15	.	.	.
tempo t	1	2	3	4	5	6	.	.	.

Exemplo: Série temporal de uma variedade qualitativa: A = azul, V = verde, Vm= vermelho

y	A	V	A	Vm	A	Vm	.	.	.
tempo t	1	2	3	4	5	6	.	.	.

Exemplo: Série temporal de posto: P = pequeno, M= médio, G= grande, GG= extra grande.

y	P	M	G	GG	GG	M	.	.	.
tempo	1	2	3	4	5	6	.	.	.

Exemplo: Série temporal de variedade qualitativa: S = sucesso, F = fracasso.  Sucesso pode ser, p. ex., uma peça sem defeito, e fracasso pode ser uma peça defeituosa. Este tipo de série temporal aparece em linha de produção.

y	S	S	F	F	S	S	.	.	.
tempo t	1	2	3	4	5	6	.	.	.

  Uma série temporal  pode ser decomposta em quatro componentes: y = T + C + S + I,  a tendência, o componente cíclico, o componente sazonal e o componente de interferência aleatória.

Pode-se escrever y = T x C x S x I, sendo os componentes C, S, I, expressos como percentagens de T .

Números Índices – utilização pelo Estado e pela empresa

   Números índices são números que representam uma medida de uma variável importante para a administração ou para a economia, utilizados tanto pelas entidades de Estado como por empresas privadas.  Podem ser simples ou compostos. Exemplos de números índices compostos são os preços de produtos, individualmente considerados, vendidos nos mercados. Exemplos de números índices compostos são os índices de preço para o consumidor, índices de preços no atacado, índice Dow-Jones, Nasdaq, FTSE. São obtidos por métodos estatísticos, a partir de amostras de elementos significativos.

   Números índices são usados em administração pública para planejamento, tomada de decisões, manutenção de equilíbrio financeiro de projetos implementados pelo Estado, controle e fiscalização de equilíbrio financeiro de obras sob licitação, cálculo orçamentário, planejamento de despesas, elaboração de planos plurianuais, etc.

   Números índices são usados em  finanças para tomada de decisões de compra, venda e investimentos, avaliação de segurança de investimento em empresas e  em ações.

  Utiliza-se tabelas de números índices de uma sequência de períodos, mensais ou anuais,  para se calcular a variação do valor real de salário, variação  do custo de vida, etc.

  Pode-se comparar os números índices de diversas regiões para compará-las. Observe-se que neste caso tem-se uma distribuição espacial de números índices, e eventualmente uma distribuição temporal e espacial de números índices.

A Importância da Estatística no Mundo Contemporâneo

       Tendo cursado dois semestres de Estatística na faculdade, deixei a matemática aplicada e enveredei pela matemática pura até onde tive gás para continuar, gastando meu tempo em abstrações infrutíferas. Agora, estando a estudar Estatística, e tendo vivido o suficiente para entender um pouco da estrutura administrativa dos países e das empresas, e suas tendências de atuação,  começo a perceber a importância da Estatística.

       Pode-se considerar a Estatística como disciplina chave da Teoria de Informação. Segue algumas utilidades da Estatística:

      (1) Com amostras tratadas com métodos estatísticos, de tamanho diminuto, obtem-se informação sobre uma população (inferência estatística). Tem-se, assim, economia de recursos financeiros para estudo de populações.

      (2) Teste de hipóteses. Decidir se um pneu tem uma dada duração em quilometros.

      (3) Controle de qualidade em processos de fabricação. Colhe-se uma amostra, calcula-se média, desvio padrão, e testa-se a hipótese de  um produto estar dentro das especificações.

       (4) Escolha do melhor método de ensino.  Aplica-se dois métodos de ensino em duas classes, e avalia-se o rsultado. Aplica-se métodos estatístico para decidir se os métodos são equivalentes ou se um é melhor.

       (5) Tempo médio de duração de um aparelho eletrônico.

       (6) Decidir se uma dada substância faz bem para a saúde, se engorda, se emagrece, se prejudica a saúde, se prolonga a vida (teste de correlação).

       (7) Decisões administrativas requerem conhecimento de dados estatísticos sobre uma dada população. Quantos estudantes vão começar o primeiro ano letivo no próximo ano, quantos terminaram o ensino médio, quantos se formaram em um dado curso técnico,…(estatística descritiva).

       (8) Cálculos mais eficiêntes utilizando métodos Monte Carlo (gerador de números aleatórios).

       (9) Estudo do comportamento da cotação em bolsa de valores da ação de uma empresa (séries tremporais).

       (10) Estudo de modelos científicos. Colhem-se algumas amostras e compara-se com os valores esperados para se decidir se uma teoria é válida (teste de qui-quadrado).

       É difícil encontrar uma situação em que não se aplique a Estatística para solucionar problemas, para se obter produtos melhores, métodos mais eficazes, mais eficientes, diminuir riscos.

Tipos de Estatísticas

Ao se estudar um fenômeno da Natureza, da sociedade humana, ou  científico, pode-se fazer experimentos para obter informações suficientes, ou razoavelmente suficientes,  para entendê-lo. Neste caso, utiliza-se certos tipos de Estatística, notadamente o que se pode chamar de Estatística experimentalista, baseada em teoria de probabilidade obtida de dados experimentais. Porém, em muitos casos, dos mais interessantes, ou não se tem a tecnologia para estudá-los,  ou a técnica existente  torna o seu estudo muito difícil, ou é muito caro estudá-lo, ou até mesmo impossível. Neste caso, utiliza-se outros tipos de Estatísitca, considerados nos itens seguintes.

Há dois tipos de Estatísticas:

   (1) Estatística obtida de dados experimentais (Estatísitca experimentalista, ou frequencista). As distribuições de probabilidade são obtidas de distribuições de frequências, obtidas por dados experimentais.

   (2) Estatística bayesiana, não obtida por dados experimentais. Neste tipo de Estatística, as distribuições de probabilidade são construídas sem dados experimentais. O motivo disto pode ser a impossibilidade de obtenção, o preço elevado, impossibilidade tecnológica ou técnica de obtenção de dados experimentais.

Por outra classificação de Estatística, mais didática, há quatro tipos de Estatística:

   (1) Estatística clássica, que abrange estatísticas dos jogos de azar. tais como lançamentos de moedas e  dados, com homogeneidade de distribuição de probabilidade. Por exemplo,

    para moedas, define-se  P(cara)=P(coroa)=0,5

    para dados, define-se P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.

     (2) Estatística experimentalista, obtida de dados experimentais. Define-se as  distribuições de probabilidade a partir dos dados experimentais. Cada novo experimento aumenta a informação que se tem do sistema ou população em estudo.

   (3) Estatística subjetiva, em que as funções de probabilidade são definidas subjetivamente. É a única estatística utilizável ao se tentar decidir qualquer questão sobre um sistema muito complexo, que não pode ser estudado satisfatoriamente por meio de dados experimentais.

   (4) Estatística geométrica, em que as probabilidades são definidas por medidas: linear, de área, ou volumétrica.

   (5) Estatísitica axiomática,  definida por meio de um espaço de medida unitária (X,M,m), da Teoria de Medida e Integração da Análise Matemática, sendo X um espaço topológico, M uma classe de subconjuntos mensuráveis de X, e m uma medida tal que

m(X)=1.

O Paradoxo de Simpson

O paradoxo de Simpson (ver Wikipedia:  Simpson’s paradox) é um exemplo de como a leitura de tabelas pode ser enganosa.

Exemplo:  Considera-se dois tratamentos para pedra de rim, A e B. A tarefa é decidir qual deles é o melhor tratamento. São testados  os dois tratamentos em 400 pacientes, para cada um dos tratamentos. Considera-se a eficácia dos tratamentos para eliminar pedras pequenas, médias e grandes.  A tabela abaixo, criada por mim, embora imaginária (estatística bayesiana), serve para apresentar o paradoxo.

tipo de pedra	tratamento A (porcentagem  de sucessos)	tratamento B (porcentagem de sucessos)
pequena	85% (255 de 300)	90% (9 de 10)
média	70% (56 de 80)	80% (72 de 90)
grande	5% (1 de 20)	69% (207 de 300)
total	78% (312 de 400)	72% (288 de 400)

 

Interpretação:  Segundo a última linha, o tratamento A parece melhor, pois tem 78% de sucessos contra 72% de sucessos do tratamento B. Porém B  é  melhor tratamento do que A  para todos os tipos de pedras (90% contra 85% para pedras pequenas, 80% contra 70% para pedras médias, 69% contra 5% para pedras grandes). Observe-se ainda que para pedras grandes, que são os casos mais críticos, o tratamento  B é muito melhor do que o tratamento A.

Métodos Monte Carlo da Estatística

    Suponhamos que se tenha dois conjuntos A e B,  A contido em B, e que se queira calcular  a área de A, sabendo-se a área de B. 

    Método Monte Carlo de solução deste problema:  Com um algoritmo de geração aleatória homogênea de pontos em B, p.ex. com um gerador aleatório de números, define-se uma certa quantidade n de pontos em B.  Observar que esta distribuição de pontos tem de tender à uma distribuição homogênea de pontos para que o cálculo seja correto. Calcula-se a área de A facilmente, sabendo-se que a área de A dividido pela área de B (conhecida) é aproximadamente igual ao número de pontos incidentes em A dividido pelo número de ponto incidentes em B. A aproximação será tanto melhor quanto mais pontos forem definidos pelo algorítmo em consideração.

   Exemplo: Dá até para se calcular a constante universal pi  (encontrei na Wikipedia):

    Considere um disco de raio r dentro de uma quadrado de lado 2r. Fazendo-se o  desenho, percebe-se que o disco tange o quadrado perfeitamente nos quatro lados do quadrado. Procedendo-se à geração aleatória de pontos no quadrado, tem-se que a área do disco, pi vezes r ao quadrado, dividido pela área do quadrado, (2r) ao quadrado, é proporcional ao número de pontos do disco dividido pelo número de pontos do quadrado. Assim, pi é igual a 4 vezes o quociente definido pelo número de pontos incidentes no disco dividido pelo número de pontos incidentes no quadrado. 

  P.S.  Há muitas outras aplicações, à Matemática, à Estatística, à Física, à Engenharia, etc.

Carreira matemática – prós e contras de estudos matemáticos

    Meus estudos matemáticos começaram  em 1982, quando fiz uma incursão no nível superior, em dois anos de um  curso de engenharia,  e de modo intensivo em 1987, quando comecei meu curso de matemática, concluído em 1996; e até hoje,  ainda continuo a dedicar parte de meu tempo à matemática. Não estou considerando os meus estudos preliminares, do primeiro grau e do segundo grau, como eram chamados, respectivamente, o ensino  fundamental e o ensino médio atuais (se é que os burocratas já não lhes mudaram os nomes).  Além disso, comecei um mestrado em matemática em 1998, concluído em 2001, e comecei um doutorado em 2001, tendo concluído todas as disciplinas em 2005, e terminado em 2006 sem a conclusão.

   O que posso dizer é que conhecimento de matemática é imprescindível para interpretar os acontecimentos da vida, é importante para a tomada de decisões políticas, econômicas, empresariais, administrativas, tanto públicas quanto privadas.  A matemática é imprescindível para a internet, comunicações, códigos bancários, segurança de dados, desenvolvimento de tecnologias,  projetos militares, e tomada de decisões baseadas em estatísticas. 

  Mas será que os fins justificam os meios?  Quais são os malefícios da atividade matemática?

   Alguns dos malefícios da atividade matemática são:

     (1) A atividade matemática intensa e prolongada transforma a maneira de pensar, não só dos seus praticantes, como também das pessoas envolvidas, por relação de autoridade, com o praticante da matemática.  Este fato merece estudos de psicólogos, psiquiatras,  sociológos, e quaisquer outros profissionais interessados nas manifestações da mente humana e seus efeitos. A quantidade de matemáticos (e outros estudiosos das ciências ditas exatas) com comportamento autista, gente sem vida social saudável, é muito acima da média.  Não é difícil encontrar estatísticas para este fato. Já há referência a uma forma branda de autismo,  a síndrome de Asperger, muito comum nos meios acadêmicos das ciências exatas.  Se o comportamento autista é adquirido com a atividade matemática ou se é pré-existente, já é outro problema. Em todo caso, o ambiente que se constrói é péssimo para pessoas minimamente saudáveis mentalmente, e para as novas gerações de jovens ingressantes no curso superior. 

     (2) Desenvolvimento de comportamento paranóico, tanto nos alunos de estudos avançados, como em professores. Poucos são imunes aos distúrbios psíquicos. O comportamento paranóico se manifesta, algumas vezes, como um comportamento exigente e de rigor, justamente pelos elementos menos produtivos.

     (3) Desumanização do ambiente acadêmico, e por consequência, de toda a sociedade.  É só lembrar que a maioria dos cursos superiores tem disciplinas de matemática, notadamente de cálculo e estatística.  Aparentemente, apenas os cursos de humanidades estão imunes aos malefícios da matemática, talvez justamente por exercitar a dimensão da tolerância, e da conciliação entre elementos opostos. 

     (4) Violação de limites. Forma-se um estamento hermético doente, no qual há violação de limites, justamente pela falta de consideração das outras dimensões do saber.

     (5) Megalomania e falsa humildade. Juntamente com a paranóia, advém da perda de referenciais mentais a que é induzido, alunos avançados e professores, pelo estresse decorrente da obrigação, mais imaginária (aqui estamos considerando um desvio, reversível ou não, da consciência e sanidade mental) do que real, por resultados, ou, eventualmente por outros fatores que desconheço. 

     (6) Desconsideração das outras dimensões do saber: a dimensão ética, econômica, política, social, estética, científica, militar, utilitária, cultural, histórica, geográfica, moral, familiar, étnica, jurídica, mítica, religiosa, simbólica, poética, etc.

   

     Conclusão: A importância da matemática para o país, torna urgente o desenvolvimento de novos meios para a educação matemática.

     Sugestões:  (1) Investimento em educação à distância, por iniciativa governamental. Bons livros e revistas especializadas disponíveis aos  estudantes.

                      (2) Substituição de avaliação com conceito por avaliação de verificação e orientação.  Basta aperfeiçoar a avaliação para concursos públicos para os candidatos às carreiras acadêmicas, e para promoções.

                      (3)  Avaliação preferencial por resultados e citações, publicações de livros e artigos, em revistas e periódicos, e por capacidade de formação de novas gerações.

     O aluno precisa acreditar que o que interessa para ele e para a sociedade não é o conceito formal obtido de provas e avaliações, mas os resultados a que ele chegue, e que sejam úteis para a sociedade.                   

Escolha de combustível: álcool ou gasolina

     Vou responder à pergunta: Com que combustível abastecer um carro com motor tipo flex, que consome álcool ou gasolina, baseado apenas no interesse de minimizar o custo de transporte a curto prazo?

    Não vou considerar a questão de qual combustível é o melhor em termos de manutenção do carro.

    Se o critério de escolha do combustível for o do melhor para o meio ambiente, então é certo que  álcool (etanol) é o melhor, ou pelo menos, o menos pior.

    Considero a hipótese de que o consumo de álcool seja 50% superior ao consumo de gasolina. Este número, 50%, obtive de informação divulgada pelo Inmetro, entidade governamental, cálculo aproximado (estrada e cidade aproximadamente o mesmovalor) para carro 1.0 flex , transmissão m-5, ar-condicionado, direção hidráulica. Suponho que para as outras marcas de carro os números não sejam significativamente diferentes.

    Se para percorrer uma distândia d, com gasolina, temos  um consumo de Ng litros, então, com álcool, temos um consumo de Na litros de álcool, e Na=1,5 x Ng. (Aqui, x é o símbolo da multiplicação)

    Considerando-se que o preço do litro de gasolina seja Pg e o preço  do litro de álcool seja Pa, então para percorrer-se a distância d,  o custo é Cg = Ng x Pg com gasolina, e o custo é Ca = Na x Pa com álcool. Mas, como Na = 1,5 Ng, então o custo com álcool é Ca = 1,5 Ng x Pa. 

   Normalizando-se a distância, podemos, sem prejuízo da escolha a ser feita, considerar a distância percorrida com um litro de gasolina. Neste caso, as equações se simplificam. Temos, assim, custo de gasolina Cg= Pg, e custo de álcool Ca=1,5 x Pa.

   Com isto já se pode calcular facilmente os custos pertinentes e decidir com qual combustível abstecer o carro. Basta multiplicar o preço do litro de álcool por 1,5 e comparar com o preço do litro de gasolina. Se este for menor, então deve-se abastecer o carro com gasolina, caso aquele seja menor, deve-se abastecer com álcool.

PS: Todos os números e variáveis  considerados nesta página são racionais.