O axioma da escolha, que é um axioma chave da Matemática, não tem validade universal, i.e., pode ser válido, em termos de definição formal, não necessariamente construtiva, para coleções enumeráveis de subconjuntos dos números inteiros, mas não vale para toda a teoria de conjuntos ZF. Isto significa que parte considerável dos teoremas da Matemática, principalmente da Análise Funcional, Teoria de Operadores, Álgebra Linear não tem a validade que se esperava. Por exemplo, não vale necessariamente que todo espaço vetorial admite uma base. Se não, vejamos:
Lema de Zorn: Todo conjunto parcialmente ordenado, em que toda cadeia admita um majorante, admite pelo menos um elemento maximal. (Observe-se que o elemento majorante não pecisa pertencer à cadeia).
Contra-exemplo: Seja S a coleção de todos os intervalos fechados do intervalo aberto (0,1). S é um conjunto parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Toda cadeia em S admite majorante como por exemplo o intervalo fechado [0,1], que não pertence à S. Porém S não admite um elemento maximal. O intervalo fechado [0,1], embora possa ser um candidato natural, não é um elemento maximal de S, pois por definição não pertence a S.
Em ZF são equivalentes: 1) axioma da escolha; 2) Lema de Zorn; 3) Tricotomia ( para todos x, y, tem-se x<=y ou y <=x); 4) Princípio da Boa Ordem ; 5) Dada uma coleção de conjuntos disjuntos não-vazios, existe um conjunto com um único representante de cada conjunto da coleção. (Ver Elliott Mendelson – Introduction to Mathematical Logic, pg 197, par. 5).
O contra-exemplo acima implica que as equivalências acima não tem validade universal. Isso quer dizer que devem existir coleção de conjuntos que não admita função escolha, conjunto parcialmente ordenado que não satisfaz o lema de Zorn (p.ex., o contra-exemplo acima), conjunto que não pode ser bem ordenado, e conjunto com elementos x, y, tal que não se consiga decidir se x<=y ou y<=x. (Aqui <= é uma relação de ordem arbitrária, não necessariamente uma relação de ordem da Aritmética).
PS: A única Matemática com válidade universal é a Matemática Construtivista que, grosso modo, é a que trabalha com os números inteiros e objetos que possam ser construídos.
PS: Os termos técnicos utilizados são indispensáveis para o texto.
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