Parametrização do Círculo

      O círculo x^2+y^2=1, do plano cartesiano, pode ser parametrizado por

          x(t)=(1-t^2)/(1+t^2)

          y(t)=2t/(1+t^2)

      Para cada t=p/q, p,q números naturais, tem-se um ponto (x(t), y(t)),  coordenadas que são números racionais,  no círculo unitário .  Há uma infinidade deles!

      Observar que com funções circulares (seno, cosseno,…) não se consegue isto,  a menos de um número finito de pontos. A totalidade dos valores de seno, a menos de um número finito de pontos notáveis,  são aproximados até a n-ésima casa decimal; não é cálculo exato!  Por exemplo, a parametrização c(t)=(sen(t), cos(t)) não fornece valores exatos para os pontos do círculo, apenas valores aproximados. 

      Surge, assim,  uma nova Matemática, absolutamente exata,  interessante por si mesma,  útil para soluções de problemas importantes, e que não faz parte do currículo oficial neste País.

fonte: N.J. Wildberger, professor da UNSW Austrália.

Parametrizing Circles

        Este vídeo mostra uma parametrização do círculo,  por números racionais. Para cada número racional t existe um ponto do círculo (x(t), y(t)),  sendo x(t) e y(t) números racionais.
       x(t)=1-t^2 / 1+t^2
       y(t)=2t/1+t^2
Isto não se consegue com as parametrizações por funções circulares, que fornecem, a menos de um número finito, soluções aproximadas, e não soluções exatas.  
MathFoundations29: Parametrizing circles - YouTube

Geometry in Math Education

       N.J. Wildberger fala sobre a importância da Geometria no ensino de Matemática.  Observar que, para ele, Geometria é sempre Geometria racional. Não existem números irracionais.
Insights into Mathematics - YouTube