Fractais

Exemplo de fractal:

 

   Fractais são objetos matemáticos definidos por equações ou por  algorítmos, e que apresenta uma certa propriedade geométrica de auto-replicação infinita. Uma certa  parte do objeto é, de um certo modo, igual ao todo. Veja o fractal de triângulos a seguir para entender isso.

    Observe-se que, como um fractal tem auto-replicação infinita, então os objetos da natureza não são, matematicamente falando, fractais, pois estes são infinitos e aqueles são finitos.

    Construção de um fractal:

        Há vários tipos de  métodos de construção de fractais. Todos os que eu conheço são definidos por algum tipo de iteração, finita ou infinita.

        Construção de fractais por equações:  Define-se uma equação iterativa:  Z:=z^n+c, sendo c uma constante complexa (número complexo), e z uma variável complexa, e n un número real. Considera-se um ponto p. Substitui-se na equação, de modo que se obtem p^n+c. Substitui-se outra vez, e assim por diante, até a n-ésima vez.  Considera-se A um conjunto base do plano complexo, e  um conjunto B do plano complexo, tal que A esteja contido em B. Considera-se um conjunto de regras sobre (Z:+z+c, A, B). Pinta-se um ponto p de A de uma dada cor (p. ex. vermelho) se p satisfaz à regra, e de outra cor, se satisfaz a outra regra (p. ex. azul). Pode-se utilizar a regra: p satisfaz  R(n,A,B)  se p pertence a A,  e ao se aplicar a fórmula Z:=z+c n vezes, obtem-se um ponto fora de B.

       Pode-se complicar o quanto se quiser este tipo de algoritmo. Pode-se considerar uma equação, um sistema de equações, um sistema de sistemas de equações, etc.     Quanto mais complexo o sistema de equações, mais complexo tende a ser o fractal.

       Exemplo de fractal geométrico: Parte-se de um triângulo amarelo em fundo azul. Pinta-se de azul o triângulo interno, o triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo em consideração. Pinta-se de azul todos os triângulos interiores dos triângulos obtidos na etapa anterior. Repete-se infinitamente este procedimento. O resultado é um fractal. A seguir está uma representação truncada deste fractal. 

   Há exemplos tridimensionais deste tipo de fractal.

   Outro exemplos: