O Axioma da Escolha é essencial para muitos resultados avançados em disciplinas de Matemática tais como Análise Funcional, Topologia Geral, Álgebra Abstrata e Álgebra Linear, notadamente nos casos em que aparecem conjuntos infinitos.
Eu não acredito no Axioma da Escolha, e em uma de suas equivalências, o lema de Zorn, que afirma que todo conjunto parcialmente ordenado P, por uma relação de ordem <=, em que toda cadeia (conjunto totalmente ordenado) admite um majorante (um elemento maior do que todos os elementos da cadeia, não necessariamente da cadeia), contém um elemento maximal (um elemento maior do que todos os elementos do conjunto P).
Considere-se um conjunto que contém os naturais {1,2,3,…}, e que seja fechado para as operações de união, intersecção, e para a operação de partes de conjunto, ordenado com a continência <=. Exemplo de cadeia:
{1}<={1,2}<={1,2,3}<=…
{1,2} intersecção {3,4} é vazio,…
A continência define uma relação de ordem parcial. Além disto, toda cadeia C1<=C2<=C3<=… admite como majorante a união dos Cj, j=1,2,.. Afirmo que não há elemento maximal. Suponhamos que haja um candidato M a elemento maximal. Como a coleção em foco é fechada para a operação partes de conjunto, então o conjunto P(M), partes de M, faz parte da coleção, e M<=P(M) e M é diferente de P(M), e, portanto, M não pode ser maximal. Portanto, o lema de Zorn não tem validade universal. Sendo o Axioma da Escolha equivalente ao Lema de Zorn, então o Axioma da Escolha não tem validade universal.
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