A Matemática Clássica, com o axioma da escolha, admite muitos resultados como verdadeiros, que não são admitidos em matemáticas construtivistas, e existem algumas (intuicionista de Brower, por exemplo). Matemática Construtivista não admite o axioma da escolha. Logo, resultados clássicos tais como Lema de Zorn, Teorema da Boa Ordem, e um grande número de teoremas da Matemática Clássica não são demonstráveis, e nem devem ser admitidos como verdadeiros neste ambiente lógico. Por exemplo, a existência de uma base para um espaço vetorial, que é um resultado elementar da Álgebra Linear e da Análise Funcional, não pode ser demonstrada sem o Axioma da Escolha.
Axioma da escolha: Dada uma coleção de conjuntos não vazios, {Cj}, j em J, existe uma função, a função de escolha, de J à união dos Cj, que associa um elemento do conjunto J a um elemento de Cj.
Há várias dificuldades, muitas vêzes intransponíveis, para a determinação da função escolha: Inexistência de algoritmo para a determinação de um elemento de um Cj, impossibilidade de expressão finita para a função escolha, complexidade de definição dos Cj, cardinalidade elevada dos Cj e de J, aleatoriedade de construção dos Cj.
O axioma da escolha é controvertido. É um erro considerá-lo indiscutível, amplamente aceito, e acima de qualquer suspeita, ao ser ensinado nos cursos de graduação. Muitos dos melhores matemáticos dos século XX e dos atuais não o aceitaram. Além do mais, os resultados obtidos com a adoção do Axioma da Escolha, pelo que sei, são nulos concernente a aplicação e interesse prático. Para obter mais informações pesquise os trabalhos de Eric Schechter, E. Bishop e F. Richman.
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