A Importância da Estatística no Mundo Contemporâneo

       Tendo cursado dois semestres de Estatística na faculdade, deixei a matemática aplicada e enveredei pela matemática pura até onde tive gás para continuar, gastando meu tempo em abstrações infrutíferas. Agora, estando a estudar Estatística, e tendo vivido o suficiente para entender um pouco da estrutura administrativa dos países e das empresas, e suas tendências de atuação,  começo a perceber a importância da Estatística.

       Pode-se considerar a Estatística como disciplina chave da Teoria de Informação. Segue algumas utilidades da Estatística:

      (1) Com amostras tratadas com métodos estatísticos, de tamanho diminuto, obtem-se informação sobre uma população (inferência estatística). Tem-se, assim, economia de recursos financeiros para estudo de populações.

      (2) Teste de hipóteses. Decidir se um pneu tem uma dada duração em quilometros.

      (3) Controle de qualidade em processos de fabricação. Colhe-se uma amostra, calcula-se média, desvio padrão, e testa-se a hipótese de  um produto estar dentro das especificações.

       (4) Escolha do melhor método de ensino.  Aplica-se dois métodos de ensino em duas classes, e avalia-se o rsultado. Aplica-se métodos estatístico para decidir se os métodos são equivalentes ou se um é melhor.

       (5) Tempo médio de duração de um aparelho eletrônico.

       (6) Decidir se uma dada substância faz bem para a saúde, se engorda, se emagrece, se prejudica a saúde, se prolonga a vida (teste de correlação).

       (7) Decisões administrativas requerem conhecimento de dados estatísticos sobre uma dada população. Quantos estudantes vão começar o primeiro ano letivo no próximo ano, quantos terminaram o ensino médio, quantos se formaram em um dado curso técnico,…(estatística descritiva).

       (8) Cálculos mais eficiêntes utilizando métodos Monte Carlo (gerador de números aleatórios).

       (9) Estudo do comportamento da cotação em bolsa de valores da ação de uma empresa (séries tremporais).

       (10) Estudo de modelos científicos. Colhem-se algumas amostras e compara-se com os valores esperados para se decidir se uma teoria é válida (teste de qui-quadrado).

       É difícil encontrar uma situação em que não se aplique a Estatística para solucionar problemas, para se obter produtos melhores, métodos mais eficazes, mais eficientes, diminuir riscos.

Tipos de Estatísticas

Ao se estudar um fenômeno da Natureza, da sociedade humana, ou  científico, pode-se fazer experimentos para obter informações suficientes, ou razoavelmente suficientes,  para entendê-lo. Neste caso, utiliza-se certos tipos de Estatística, notadamente o que se pode chamar de Estatística experimentalista, baseada em teoria de probabilidade obtida de dados experimentais. Porém, em muitos casos, dos mais interessantes, ou não se tem a tecnologia para estudá-los,  ou a técnica existente  torna o seu estudo muito difícil, ou é muito caro estudá-lo, ou até mesmo impossível. Neste caso, utiliza-se outros tipos de Estatísitca, considerados nos itens seguintes.

Há dois tipos de Estatísticas:

   (1) Estatística obtida de dados experimentais (Estatísitca experimentalista, ou frequencista). As distribuições de probabilidade são obtidas de distribuições de frequências, obtidas por dados experimentais.

   (2) Estatística bayesiana, não obtida por dados experimentais. Neste tipo de Estatística, as distribuições de probabilidade são construídas sem dados experimentais. O motivo disto pode ser a impossibilidade de obtenção, o preço elevado, impossibilidade tecnológica ou técnica de obtenção de dados experimentais.

Por outra classificação de Estatística, mais didática, há quatro tipos de Estatística:

   (1) Estatística clássica, que abrange estatísticas dos jogos de azar. tais como lançamentos de moedas e  dados, com homogeneidade de distribuição de probabilidade. Por exemplo,

    para moedas, define-se  P(cara)=P(coroa)=0,5

    para dados, define-se P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.

     (2) Estatística experimentalista, obtida de dados experimentais. Define-se as  distribuições de probabilidade a partir dos dados experimentais. Cada novo experimento aumenta a informação que se tem do sistema ou população em estudo.

   (3) Estatística subjetiva, em que as funções de probabilidade são definidas subjetivamente. É a única estatística utilizável ao se tentar decidir qualquer questão sobre um sistema muito complexo, que não pode ser estudado satisfatoriamente por meio de dados experimentais.

   (4) Estatística geométrica, em que as probabilidades são definidas por medidas: linear, de área, ou volumétrica.

   (5) Estatísitica axiomática,  definida por meio de um espaço de medida unitária (X,M,m), da Teoria de Medida e Integração da Análise Matemática, sendo X um espaço topológico, M uma classe de subconjuntos mensuráveis de X, e m uma medida tal que

m(X)=1.

O Paradoxo de Simpson

O paradoxo de Simpson (ver Wikipedia:  Simpson’s paradox) é um exemplo de como a leitura de tabelas pode ser enganosa.

Exemplo:  Considera-se dois tratamentos para pedra de rim, A e B. A tarefa é decidir qual deles é o melhor tratamento. São testados  os dois tratamentos em 400 pacientes, para cada um dos tratamentos. Considera-se a eficácia dos tratamentos para eliminar pedras pequenas, médias e grandes.  A tabela abaixo, criada por mim, embora imaginária (estatística bayesiana), serve para apresentar o paradoxo.

tipo de pedra	tratamento A (porcentagem  de sucessos)	tratamento B (porcentagem de sucessos)
pequena	85% (255 de 300)	90% (9 de 10)
média	70% (56 de 80)	80% (72 de 90)
grande	5% (1 de 20)	69% (207 de 300)
total	78% (312 de 400)	72% (288 de 400)

 

Interpretação:  Segundo a última linha, o tratamento A parece melhor, pois tem 78% de sucessos contra 72% de sucessos do tratamento B. Porém B  é  melhor tratamento do que A  para todos os tipos de pedras (90% contra 85% para pedras pequenas, 80% contra 70% para pedras médias, 69% contra 5% para pedras grandes). Observe-se ainda que para pedras grandes, que são os casos mais críticos, o tratamento  B é muito melhor do que o tratamento A.

Métodos Monte Carlo da Estatística

    Suponhamos que se tenha dois conjuntos A e B,  A contido em B, e que se queira calcular  a área de A, sabendo-se a área de B. 

    Método Monte Carlo de solução deste problema:  Com um algoritmo de geração aleatória homogênea de pontos em B, p.ex. com um gerador aleatório de números, define-se uma certa quantidade n de pontos em B.  Observar que esta distribuição de pontos tem de tender à uma distribuição homogênea de pontos para que o cálculo seja correto. Calcula-se a área de A facilmente, sabendo-se que a área de A dividido pela área de B (conhecida) é aproximadamente igual ao número de pontos incidentes em A dividido pelo número de ponto incidentes em B. A aproximação será tanto melhor quanto mais pontos forem definidos pelo algorítmo em consideração.

   Exemplo: Dá até para se calcular a constante universal pi  (encontrei na Wikipedia):

    Considere um disco de raio r dentro de uma quadrado de lado 2r. Fazendo-se o  desenho, percebe-se que o disco tange o quadrado perfeitamente nos quatro lados do quadrado. Procedendo-se à geração aleatória de pontos no quadrado, tem-se que a área do disco, pi vezes r ao quadrado, dividido pela área do quadrado, (2r) ao quadrado, é proporcional ao número de pontos do disco dividido pelo número de pontos do quadrado. Assim, pi é igual a 4 vezes o quociente definido pelo número de pontos incidentes no disco dividido pelo número de pontos incidentes no quadrado. 

  P.S.  Há muitas outras aplicações, à Matemática, à Estatística, à Física, à Engenharia, etc.

Carreira matemática – prós e contras de estudos matemáticos

    Meus estudos matemáticos começaram  em 1982, quando fiz uma incursão no nível superior, em dois anos de um  curso de engenharia,  e de modo intensivo em 1987, quando comecei meu curso de matemática, concluído em 1996; e até hoje,  ainda continuo a dedicar parte de meu tempo à matemática. Não estou considerando os meus estudos preliminares, do primeiro grau e do segundo grau, como eram chamados, respectivamente, o ensino  fundamental e o ensino médio atuais (se é que os burocratas já não lhes mudaram os nomes).  Além disso, comecei um mestrado em matemática em 1998, concluído em 2001, e comecei um doutorado em 2001, tendo concluído todas as disciplinas em 2005, e terminado em 2006 sem a conclusão.

   O que posso dizer é que conhecimento de matemática é imprescindível para interpretar os acontecimentos da vida, é importante para a tomada de decisões políticas, econômicas, empresariais, administrativas, tanto públicas quanto privadas.  A matemática é imprescindível para a internet, comunicações, códigos bancários, segurança de dados, desenvolvimento de tecnologias,  projetos militares, e tomada de decisões baseadas em estatísticas. 

  Mas será que os fins justificam os meios?  Quais são os malefícios da atividade matemática?

   Alguns dos malefícios da atividade matemática são:

     (1) A atividade matemática intensa e prolongada transforma a maneira de pensar, não só dos seus praticantes, como também das pessoas envolvidas, por relação de autoridade, com o praticante da matemática.  Este fato merece estudos de psicólogos, psiquiatras,  sociológos, e quaisquer outros profissionais interessados nas manifestações da mente humana e seus efeitos. A quantidade de matemáticos (e outros estudiosos das ciências ditas exatas) com comportamento autista, gente sem vida social saudável, é muito acima da média.  Não é difícil encontrar estatísticas para este fato. Já há referência a uma forma branda de autismo,  a síndrome de Asperger, muito comum nos meios acadêmicos das ciências exatas.  Se o comportamento autista é adquirido com a atividade matemática ou se é pré-existente, já é outro problema. Em todo caso, o ambiente que se constrói é péssimo para pessoas minimamente saudáveis mentalmente, e para as novas gerações de jovens ingressantes no curso superior. 

     (2) Desenvolvimento de comportamento paranóico, tanto nos alunos de estudos avançados, como em professores. Poucos são imunes aos distúrbios psíquicos. O comportamento paranóico se manifesta, algumas vezes, como um comportamento exigente e de rigor, justamente pelos elementos menos produtivos.

     (3) Desumanização do ambiente acadêmico, e por consequência, de toda a sociedade.  É só lembrar que a maioria dos cursos superiores tem disciplinas de matemática, notadamente de cálculo e estatística.  Aparentemente, apenas os cursos de humanidades estão imunes aos malefícios da matemática, talvez justamente por exercitar a dimensão da tolerância, e da conciliação entre elementos opostos. 

     (4) Violação de limites. Forma-se um estamento hermético doente, no qual há violação de limites, justamente pela falta de consideração das outras dimensões do saber.

     (5) Megalomania e falsa humildade. Juntamente com a paranóia, advém da perda de referenciais mentais a que é induzido, alunos avançados e professores, pelo estresse decorrente da obrigação, mais imaginária (aqui estamos considerando um desvio, reversível ou não, da consciência e sanidade mental) do que real, por resultados, ou, eventualmente por outros fatores que desconheço. 

     (6) Desconsideração das outras dimensões do saber: a dimensão ética, econômica, política, social, estética, científica, militar, utilitária, cultural, histórica, geográfica, moral, familiar, étnica, jurídica, mítica, religiosa, simbólica, poética, etc.

   

     Conclusão: A importância da matemática para o país, torna urgente o desenvolvimento de novos meios para a educação matemática.

     Sugestões:  (1) Investimento em educação à distância, por iniciativa governamental. Bons livros e revistas especializadas disponíveis aos  estudantes.

                      (2) Substituição de avaliação com conceito por avaliação de verificação e orientação.  Basta aperfeiçoar a avaliação para concursos públicos para os candidatos às carreiras acadêmicas, e para promoções.

                      (3)  Avaliação preferencial por resultados e citações, publicações de livros e artigos, em revistas e periódicos, e por capacidade de formação de novas gerações.

     O aluno precisa acreditar que o que interessa para ele e para a sociedade não é o conceito formal obtido de provas e avaliações, mas os resultados a que ele chegue, e que sejam úteis para a sociedade.                   

Escolha de combustível: álcool ou gasolina

     Vou responder à pergunta: Com que combustível abastecer um carro com motor tipo flex, que consome álcool ou gasolina, baseado apenas no interesse de minimizar o custo de transporte a curto prazo?

    Não vou considerar a questão de qual combustível é o melhor em termos de manutenção do carro.

    Se o critério de escolha do combustível for o do melhor para o meio ambiente, então é certo que  álcool (etanol) é o melhor, ou pelo menos, o menos pior.

    Considero a hipótese de que o consumo de álcool seja 50% superior ao consumo de gasolina. Este número, 50%, obtive de informação divulgada pelo Inmetro, entidade governamental, cálculo aproximado (estrada e cidade aproximadamente o mesmovalor) para carro 1.0 flex , transmissão m-5, ar-condicionado, direção hidráulica. Suponho que para as outras marcas de carro os números não sejam significativamente diferentes.

    Se para percorrer uma distândia d, com gasolina, temos  um consumo de Ng litros, então, com álcool, temos um consumo de Na litros de álcool, e Na=1,5 x Ng. (Aqui, x é o símbolo da multiplicação)

    Considerando-se que o preço do litro de gasolina seja Pg e o preço  do litro de álcool seja Pa, então para percorrer-se a distância d,  o custo é Cg = Ng x Pg com gasolina, e o custo é Ca = Na x Pa com álcool. Mas, como Na = 1,5 Ng, então o custo com álcool é Ca = 1,5 Ng x Pa. 

   Normalizando-se a distância, podemos, sem prejuízo da escolha a ser feita, considerar a distância percorrida com um litro de gasolina. Neste caso, as equações se simplificam. Temos, assim, custo de gasolina Cg= Pg, e custo de álcool Ca=1,5 x Pa.

   Com isto já se pode calcular facilmente os custos pertinentes e decidir com qual combustível abstecer o carro. Basta multiplicar o preço do litro de álcool por 1,5 e comparar com o preço do litro de gasolina. Se este for menor, então deve-se abastecer o carro com gasolina, caso aquele seja menor, deve-se abastecer com álcool.

PS: Todos os números e variáveis  considerados nesta página são racionais.