American Mathematical Society :: June 21011 Feature Column

A distribuição normal, utilizada em análise estatística: American Mathematical Society :: June 21011 Feature Column

Wolfram Blog : What Shall We Do with the Drunken Sailor? Make Him Walk the Plank!

O problema do marinheiro bêbado na prancha, dado em cursos introdutórios de Computação: Wolfram Blog : What Shall We Do with the Drunken Sailor? Make Him Walk the Plank!

Chinamax, Panamax, Suezmax e Minimax

       

          Navios de padrão Chinamax são projetados de acordo com as dimensões dos portos chineses, assim como os navios Panamax são  adaptados ‘as dimensões do Canal do Panamá, e os Suezmax são adaptados ‘as dimensões do Canal de Suez.

           Dada uma coleção finita de conjuntos finitos C1,…,Cn, (e aqui as finitudes são essenciais), define-se o valor minimax(C1,…,Cn) como o mínimo dos máximos destes conjuntos.  Neste caso, os máximos sempre existem pois os conjuntos são finitos, e os mínimos sempre existem pois a coleção é finita.

           Definida a rota do navio, que depende de decisão logística e financeira, normalmente anterior ao projeto do navio, encontrar a dimensão ótima para a largura de navio é um problema de encontrar-se o valor minimax das variáveis de projeto naval como, por exemplo, a largura.  A largura ótima é a mínima de todas as larguras máximas permitidas pelas dimensões dos canais e portos pelos quais o navio vais passar. Observe-se que a largura ótima é a que maximiza o volume transportado, considerando-se um orçamento já definido. No caso dos navios tipo Chinamax, como a largura é superior ‘a do Canal do Panamá e do Canal de Suez, depreendo que sua rota não passa por estes canais, e deve passar pelo extremo sul da América do Sul e pelo oceano Pacífico, ou pelo extremo sul da África e pelo oceano ìndico, a depender da época do ano e do ponto de partida. Em todo caso, o projeto Chinamax deve ter seguido as dimensões dos portos chineses, construídos ou por construir. Caberia agora investigar se os portos e os navios Chinamax fazem parte de projeto de dimensionamento  conjunto.

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Newton, Maclaurin, origem do cálculo e do método científico: mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Grabiner841-852.pdf

Functional Equations - EqWorld

Lista de equações funcionais: Functional Equations - EqWorld

Equações Funcionais

     Uma equação funcional é uma equação em que as suas soluções são funções (e não um número ou qualquer outro objeto) e que se apresentam em expressões como as seguintes.

     Exemplos:  (f função de uma variável)

        f(x+y)=f(x)*f(y)    é satisfeita pela função exponencial. (* representa a multiplicação)

        f(x*y)=f(x)+f(y)    é satisfeita pela função logarítmica.

        f(x*y)=f(x)*f(y)    é satisfeita pela função potência    f(z)=(z)^a  (a é uma constante). 

Famous Curves Index

Veja esta lista de curvas planas. Elas são a realização de mais de 2300 anos de história da Matemática. Algumas são utilizadas em Engenharia, Estatística, dentre outras: Famous Curves Index

Funções Implícitas

       As funções matemáticas mais comuns admitem um expressão algébrica y=f(x), para função de uma variável,  y=f(x,z), y=f(x,z,w) ou y=f(x1,x2,…,xn) para funções de várias variáveis, em que a variável dependente é isolada das variáveis dependentes.

        Mas em muitos casos, talvez os mais importantes, não é possível encontrar uma expressão algébrica em que a variável dependente é isolada das variáveis independentes como as expressões dadas acima. São as chamadas funções implícitas. São dadas por expressões do tipo F(x,y)=0, F(x,y,z)=0, F(x1,x2,…,xn)=0, em que as F são funções polinomiais, funções racionais, etc.

 

        Exemplos: x^2+y^2=1 (esfera no plano)

                       x1^2+x2^2+…+xn^2=1 (esfera de dimensão n)

                       x^2+xy+y^2/z^2+zw+w^2=1

                    Observar que  para a parábola y=x^2 não se pode tirar x como função de y (há dois ramos). 

Números Construtíveis com Régua e Compasso

     Consideremos os pontos da reta real, no plano, que podem ser construídos com régua, sem escala, e compasso, com um ponto inicial, o zero, e outro ponto que se convenciona ser o 1. 

   Os números inteiros são construtíveis a partir da transferência do segmento [0,1] com o compasso. Assim, constrói-se o 2,3,4,… e os números negativos  …,–3, –2, –1.

    O produto de dois números construtíveis a e b é um número construtível. Para provar isto basta considerar triângulos-retângulos encaixados de lados 1, a, b e utilizar semelhança de retângulos.

    O quociente de números construtíveis p e q, q diferente de zero, é um número construtível. Para provar isto basta considerar triangulos retângulos encaixados, o maior com um lado 1.  Em particular, os números racionais são construtíveis, e todo número construtível p, diferente de zero, admite um inverso  1/p.

    Observar que existem alguns números irracionais, como a raiz de 2, hipotenusa do triângulo-retângulo de lados 1, que são construtíveis.

    Valem as propriedades associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso, das operações de soma e multiplicação, e as distributivas.

    Portanto, o conjunto dos números construtíveis é um corpo algébrico.  Outros exemplos de corpos são os conjuntos dos números racionais, reais, complexos.

   PS: Nem todo número é construtível com régua e compasso. Por exemplo, raíz de 3, que no entanto é um número algébrico, como raíz do polinômio x^2=3.

O Teorema de Markov e Médias Aritméticas

     Problema: Dado um conjunto S={x1,…,xn} com elementos positivos (>=0) com média aritmética m, ((x1+x2+…+xn)/n)=m, quantos elementos de A, no máximo, podem ser maiores do que m?     

      Exemplo: Um lote de 60 diamantes contém diamantes cuja média de quilates é 200. Quantos diamantes, no máximo, deste lote, podem ter 300 quilates ou mais?

       Solução: resolver a equação:  300x+r=60*200.   300x+r=12000. Para x=39, tem-se 300*39=11700, e r=300. Não se pode somar mais um diamante de 300 quilates.  Portanto, 39 é o número máximo de diamantes com mais de 300 quilates deste lote.

         Há várias variações deste tipo de  problema. Uma generalização é expressa no seguinte teorema.

    Teorema de Markov:  Dados um conjunto de números  A={x1,x2,…,xn}, xj>=0, j=1,..,n,  k>0, m a média aritmética de A, então a proporção de elementos de A que sejam maiores do que k é menor ou igual a m/k.  (referência: livro Estatística Aplicada – John E. Freund-2006).

        Observar que se houver uma limitação inferior diferente de 0  para os elementos de A, então tem-se uma nova categoria de problemas que exige novas soluções.