Famous Curves Index

Veja esta lista de curvas planas. Elas são a realização de mais de 2300 anos de história da Matemática. Algumas são utilizadas em Engenharia, Estatística, dentre outras: Famous Curves Index

Funções Implícitas

       As funções matemáticas mais comuns admitem um expressão algébrica y=f(x), para função de uma variável,  y=f(x,z), y=f(x,z,w) ou y=f(x1,x2,…,xn) para funções de várias variáveis, em que a variável dependente é isolada das variáveis dependentes.

        Mas em muitos casos, talvez os mais importantes, não é possível encontrar uma expressão algébrica em que a variável dependente é isolada das variáveis independentes como as expressões dadas acima. São as chamadas funções implícitas. São dadas por expressões do tipo F(x,y)=0, F(x,y,z)=0, F(x1,x2,…,xn)=0, em que as F são funções polinomiais, funções racionais, etc.

 

        Exemplos: x^2+y^2=1 (esfera no plano)

                       x1^2+x2^2+…+xn^2=1 (esfera de dimensão n)

                       x^2+xy+y^2/z^2+zw+w^2=1

                    Observar que  para a parábola y=x^2 não se pode tirar x como função de y (há dois ramos). 

Números Construtíveis com Régua e Compasso

     Consideremos os pontos da reta real, no plano, que podem ser construídos com régua, sem escala, e compasso, com um ponto inicial, o zero, e outro ponto que se convenciona ser o 1. 

   Os números inteiros são construtíveis a partir da transferência do segmento [0,1] com o compasso. Assim, constrói-se o 2,3,4,… e os números negativos  …,–3, –2, –1.

    O produto de dois números construtíveis a e b é um número construtível. Para provar isto basta considerar triângulos-retângulos encaixados de lados 1, a, b e utilizar semelhança de retângulos.

    O quociente de números construtíveis p e q, q diferente de zero, é um número construtível. Para provar isto basta considerar triangulos retângulos encaixados, o maior com um lado 1.  Em particular, os números racionais são construtíveis, e todo número construtível p, diferente de zero, admite um inverso  1/p.

    Observar que existem alguns números irracionais, como a raiz de 2, hipotenusa do triângulo-retângulo de lados 1, que são construtíveis.

    Valem as propriedades associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso, das operações de soma e multiplicação, e as distributivas.

    Portanto, o conjunto dos números construtíveis é um corpo algébrico.  Outros exemplos de corpos são os conjuntos dos números racionais, reais, complexos.

   PS: Nem todo número é construtível com régua e compasso. Por exemplo, raíz de 3, que no entanto é um número algébrico, como raíz do polinômio x^2=3.

O Teorema de Markov e Médias Aritméticas

     Problema: Dado um conjunto S={x1,…,xn} com elementos positivos (>=0) com média aritmética m, ((x1+x2+…+xn)/n)=m, quantos elementos de A, no máximo, podem ser maiores do que m?     

      Exemplo: Um lote de 60 diamantes contém diamantes cuja média de quilates é 200. Quantos diamantes, no máximo, deste lote, podem ter 300 quilates ou mais?

       Solução: resolver a equação:  300x+r=60*200.   300x+r=12000. Para x=39, tem-se 300*39=11700, e r=300. Não se pode somar mais um diamante de 300 quilates.  Portanto, 39 é o número máximo de diamantes com mais de 300 quilates deste lote.

         Há várias variações deste tipo de  problema. Uma generalização é expressa no seguinte teorema.

    Teorema de Markov:  Dados um conjunto de números  A={x1,x2,…,xn}, xj>=0, j=1,..,n,  k>0, m a média aritmética de A, então a proporção de elementos de A que sejam maiores do que k é menor ou igual a m/k.  (referência: livro Estatística Aplicada – John E. Freund-2006).

        Observar que se houver uma limitação inferior diferente de 0  para os elementos de A, então tem-se uma nova categoria de problemas que exige novas soluções.

Avaliação, Ranking e Seleção

 

      Exponho a seguir um exemplo que mostra a dificuldade de definição e aplicação de uma estatística em um processo de avaliação.

Tabela 1: Notas de 10 alunos, em escala de 0 a 100, avaliados em quatro disciplinas:

	disciplina1	disciplina2	disciplina3	disciplina4	soma
aluno1	81	81	81	99	342
aluno2	82	82	82	95	341
aluno3	83	83	83	91	340
aluno4	84	84	84	87	339
aluno5	85	85	85	83	338
aluno6	86	86	86	79	337
aluno7	87	87	87	75	336
aluno8	88	88	88	71	335
aluno9	89	89	89	67	334
aluno10	90	90	90	50	320

  Observa-se que o aluno1 é o melhor e o aluno10 é o pior segundo o critério de soma de pontos das disciplinas (tabela 1). Se for considerada a média aritmética das posições de um aluno nas disciplinas, tem-se resultado totalmente contrário: o aluno1 é o pior e o aluno10 é o melhor   (Tabela 2). 

 

Tabela 2: Posições de alunos nos rankings de diversas disciplinas.

	disciplina1	disciplina2	disciplina3	disciplina4	média
aluno1	10	10	10	1	7,75
aluno2	9	9	9	2	7,25
aluno3	8	8	8	3	6,75
aluno4	7	7	7	4	6,25
aluno5	6	6	6	5	5,75
aluno6	5	5	5	6	5,25
aluno7	4	4	4	7	4,75
aluno8	3	3	3	8	4,25
aluno9	2	2	2	9	3,75
Pedro	1	1	1	10	3,25

Na tabela 2, quanto mais baixa a média aritmética de um aluno, mais alto ele está situado no ranking geral.

Tem-se duas estatíticas, a da soma de notas ou pontos, e a da soma de posições, e que fornecem resultados totalmente opostos. Isto mostra como a utilização de uma estatística inadequada ou viciada pode causar danos irreparáveis dentro de um processo seletivo, seja dentro de uma escola ou universidade, seja em um concurso público.

O Axioma da Escolha

    O axioma da escolha, que é um axioma chave da Matemática, não tem validade universal, i.e., pode ser válido, em termos de definição formal, não necessariamente construtiva, para coleções enumeráveis de subconjuntos dos números inteiros, mas não vale para toda a teoria de conjuntos ZF. Isto significa que parte considerável dos teoremas da Matemática, principalmente da Análise Funcional, Teoria de Operadores, Álgebra Linear não tem a validade que se esperava. Por exemplo, não vale necessariamente que todo espaço vetorial admite uma base. Se não, vejamos:

     Lema de Zorn: Todo conjunto parcialmente ordenado, em que toda cadeia admita um majorante, admite pelo menos um elemento maximal. (Observe-se que o elemento majorante não pecisa pertencer à cadeia).

    Contra-exemplo:  Seja S a coleção de todos os intervalos fechados do intervalo aberto (0,1).  S é um conjunto parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos.  Toda cadeia em S admite majorante como por exemplo o intervalo fechado [0,1], que não pertence à S.  Porém S não admite um elemento maximal. O intervalo fechado [0,1], embora possa ser um candidato natural, não é um elemento maximal de S, pois por definição não pertence a S.    

     Em ZF são equivalentes: 1) axioma da escolha; 2) Lema de Zorn; 3) Tricotomia ( para todos x, y, tem-se x<=y ou y <=x); 4)  Princípio da Boa Ordem ; 5) Dada uma coleção de conjuntos disjuntos não-vazios, existe um conjunto com um único representante de cada conjunto da coleção. (Ver Elliott Mendelson – Introduction to Mathematical Logic, pg 197, par. 5).

     O contra-exemplo acima implica que as equivalências acima não tem validade universal. Isso quer dizer que devem existir coleção de conjuntos que não admita função escolha, conjunto parcialmente ordenado que não satisfaz o lema de Zorn (p.ex., o contra-exemplo acima), conjunto que não pode ser bem ordenado, e conjunto com elementos x, y, tal que não se consiga decidir se x<=y ou y<=x.  (Aqui <= é uma relação de ordem arbitrária, não necessariamente uma relação de ordem da Aritmética).

PS: A única Matemática com válidade universal é a Matemática Construtivista que, grosso modo, é a que trabalha com os números inteiros e objetos que possam ser construídos.   

PS: Os termos técnicos utilizados são indispensáveis para o texto.

Princípio da Boa Ordem

    Há alguns axiomas da Matemática Clássica,  não-construtivista, que considera objetos que não podem ser construídos, nem com algoritmo finito nem com algoritmo infinito enumerável. Pode-se pensar que essa abstração seja uma manifestação da “beleza” da Matemática, ou, simplesmente manifestação de temerariedade científica. Em todo caso, parece-me que a consequência dessa abstração não seja muito frutífica, pois não conheço nenhum resultado prático importante decorrente de tais teorias abstratas que não sejam obtidos por matemática construtivista.  Um exemplo é o axioma da escolha, tratado em uma outra postagem. Outro exemplo, tratado a seguir, é o do Princípio da Boa Ordem, tão controvertido quanto o axioma da escolha, lema de Zorn, e outros. Em último caso, esses axiomas controvertidos podem ser inseridos no enunciado de teoremas, segundo a conveniência, sem serem admitidos como axiomas da teoria geral. Ao serem admitidos no corpo de axiomas da teoria geral, passam a definir o que é e o que não é verdade absoluta, e o estrago é total à Matemática que definem. Como mentira bem contada, tem aparência de verdade, sendo válidos para os casos de conjuntos finitos e para o conjunto dos números naturais.

   O Princípio da Boa Ordem afirma que todo conjunto pode ser bem ordenado. Isto significa que para cada conjunto X existe uma relação de ordem R (pode-se pensar na relação de ordem <= da aritmética dos números inteiros, como exemplo) tal que (X,R) é totalmente ordenado (i.e., para todos x,y em X,  xRy ou yRx) e todo subconjunto Y de X contém um elemento minimizante b (i.e., bRx para todo elemento x de Y).

   Por exemplo, o conjunto dos números naturais N= {0,1,2,3,…} é bem ordenado pela relação de ordem <=, menor ou igual. Como  N é limitado inferiormente, todo subconjunto de N contém elemento mímino, que é, em particular, elemento minizante.

   Para conjuntos com cardinalidade mais elevada, não é nada óbvio como se define uma relação de ordem que faça com que esse conjunto seja bem ordenado. Pode mesmo acontecer de não haver nenhum algoritmo finito ou infinito enumerável para a definição de uma relação de ordem adequada para uma boa ordem. Além do mais, considerando-se o conjuntos dos números inteiros Z, com cardinalidade alefe zero, e o operador P, das partes de um conjunto, constrói-se  o conjunto P(Z) com cardinalidade alefe um, o conjunto P(P(Z)) com cardinalidade alefe dois, o conjunto P(P(…(P(Z))…), n vêzes, com cardinalidade alefe n, e assim por diante.

   Outro fato que cabe notar é como a simplicidade da teoria (veja a axiomática ZF a seguir) destoa da complexidade dos teoremas da Matemática Clássica, em especial da Topologia, da Análise Funcional e da Álgebra Abstrata, provados com a sua adoção.

   Axiomática Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, que é uma axiomática padrão da Matemática Clássica:

  (1) Axioma de Existência : Existe um conjunto sem nenhum elemento. (conjunto vazio)

  (2) Se todo elemento de X for elemento de Y, e se todo elemento de Y for elemento de X, então X=Y.

(3) Seja P(x) uma propriedade. Para cada A existe B tal que x pertence a B se, e somente se, x for elemento de A e P(x) (x satisfaz à propriedade P).

  (4) Axioma do Par: Para cada A e B existe C tal que x pertence a C se, e somente se, x=A ou x=B.

  (5) Axioma da União: Para cada S existe U tal que x é elemento de U se, e somente se, x for elemento de A, para algum A elemento de S.

  (6) Axioma das Partes: Para cada S existe P tal que x é elemento de P se, e somente se, x estiver contido em S.

  (7) Existe um conjunto indutivo (I é um conjunto indutivo se 0 está em I, e para cada x em I, S(x)=x união com {x}, o sucessor de x,  também estiver em I).

  (8) Seja P(x,y) uma propriedade tal que para cada x existe um único y para o qual P(x,y) valha. Para cada A existe B tal que para cada x em A existe y em B para o qual P(x,y) valha.

  (9) Axioma da Escolha: Toda coleção de conjuntos admite uma função escolha.

P.S.: Esta e outras axiomáticas podem ser obtidas em qualquer livro de Teoria de Conjuntos. Veja a axiomática GNB.

Matemática Construtivista: Computabilidade e Axioma da Escolha

    A Matemática Clássica, com o axioma da escolha, admite muitos resultados como verdadeiros, que não são admitidos em matemáticas construtivistas, e existem algumas (intuicionista de Brower, por exemplo).  Matemática Construtivista não admite o axioma da escolha. Logo, resultados clássicos tais como Lema de Zorn, Teorema da Boa Ordem, e um grande número de teoremas da Matemática Clássica não são demonstráveis, e nem devem ser admitidos como verdadeiros neste ambiente lógico. Por exemplo, a existência de uma base para um espaço vetorial, que é um resultado elementar da Álgebra Linear e da Análise Funcional, não pode ser demonstrada sem o Axioma da Escolha.

    Axioma da escolha:  Dada uma coleção de conjuntos não vazios, {Cj}, j em J, existe uma função, a função de escolha, de J à união dos Cj, que associa um elemento do conjunto J a um elemento de Cj.

    Há várias dificuldades, muitas vêzes intransponíveis, para a determinação da função escolha:  Inexistência de algoritmo para a determinação de um elemento de um Cj, impossibilidade de expressão finita para a função escolha, complexidade de definição dos Cj, cardinalidade elevada dos Cj e de J, aleatoriedade de construção dos Cj.

    O axioma da escolha é controvertido. É um erro considerá-lo  indiscutível, amplamente aceito, e acima de qualquer suspeita, ao ser ensinado nos cursos de graduação. Muitos dos melhores matemáticos dos século XX e dos atuais não o aceitaram.  Além do mais, os resultados obtidos com a adoção do Axioma da Escolha,  pelo que sei, são nulos  concernente a aplicação e interesse prático.  Para obter mais informações pesquise os trabalhos de Eric Schechter, E. Bishop e F. Richman.

Estatística – Representação de Dados e Bancos de Dados

 

       Muito raramente há uma decisão governamental típica, empresarial típica, ou científica aplicada típica que não utilize algum recurso estatístico de representação de dados amostrais.   São exemplos as tabelas e gráficos (função, distribuição de frequência, função de frequência acumulada,  função densidade de probabilidade, função de probabilidade acumulada, polígono de frequência, polígono de frequência acumulada, polígono de porcentagem acumulada ou ogiva, histogramas,  diagramas tipo pizza, etc), e mapas (mapas de países com representação de alguma variável tal como PIB, PNB, população, índice de inflação, etc).

   A partir da representação de dados e de uma teoria de probabilidades apropriada ao caso em consideração associado aos dados obtidos, procede-se à análise de dados.

  Representações de dados, para uma posterior análise, são preparadas para se obter informações para se conseguir alguma certeza em um ambiente ou situação de incerteza, para tomada de decisões. Normalmente são decisões administrativas, governamentais ou empresariais, de aplicação direta ou indireta, de controle de informação ou de decisão efetiva, de decisão imediata ou de planejamento, de decisão interna ao País ou de decisão que envolve elementos de outros países, decisões administrativas finais ou subsidiárias a decisões de outra ordem (por exemplo, jurídicas), exploratórias ou confirmatórias (por exemplo, para confirmar ou refutar uma teoria científica).

P.S.: Os programas de computador, chamados de planílhas de cálculo, são feitos justamente para se  construir tabelas e gráficos para análise estatística, normalmente a partir de um banco de dados preexistente.

Juros: Nominais, Efetivos e Reais

Consideremos apenas juros compostos ou exponenciais.  Há basicamente três tipos de juros cobrados no sistema financeiro, por bancos e instituições financeiras, corretoras de seguros, Banco Central, corretoras de planos de capitalização,  lojas de varejo, lojas virtuais (da web) e particulares: juros nominais, juros efetivos e juros reais.

      Juros nominais são os definidos no contrato, sem considerar outros detalhes contratuais ou a inflação. Exemplo: empréstimo de R$ 1000,00 reais por seis meses para receber R$1200,00. Neste caso os juros nominais são de 20% por semestre.

      Juros efetivos são os juros nominais corrigidos por algum detalhe de contrato. Exemplo: empréstimo  de R$ 1000,00 reais por seis meses para receber R$1200,00, com a obrigação de manter R$100,00 na conta pertinente. Neste caso, os juros nominais são de 20% por semestre, mas os juros efetivos  são de 22,22% por semestre.

     Juros reais são os juros efetivos corrigidos considerando-se a inflação monetária.  Exemplo: empréstimo de R$1000,00 reais por seis meses  para receber R$1200,00, com a obrigação de manter R$100,00 na conta pertinente, com inflação de 5% em seis meses. Os juros nominais são de 20% por semestre, os juros efetivos são de 22,22% por semestre, e os juros reais são de 16,40% por semestre.

Observe-se que se não houver nenhuma cláusula contratual adicional nem efeitos inflacionários, então os juros nominais, os juros efetivos e os juros reais coincidem.