Avaliação, Ranking e Seleção

 

      Exponho a seguir um exemplo que mostra a dificuldade de definição e aplicação de uma estatística em um processo de avaliação.

Tabela 1: Notas de 10 alunos, em escala de 0 a 100, avaliados em quatro disciplinas:

	disciplina1	disciplina2	disciplina3	disciplina4	soma
aluno1	81	81	81	99	342
aluno2	82	82	82	95	341
aluno3	83	83	83	91	340
aluno4	84	84	84	87	339
aluno5	85	85	85	83	338
aluno6	86	86	86	79	337
aluno7	87	87	87	75	336
aluno8	88	88	88	71	335
aluno9	89	89	89	67	334
aluno10	90	90	90	50	320

  Observa-se que o aluno1 é o melhor e o aluno10 é o pior segundo o critério de soma de pontos das disciplinas (tabela 1). Se for considerada a média aritmética das posições de um aluno nas disciplinas, tem-se resultado totalmente contrário: o aluno1 é o pior e o aluno10 é o melhor   (Tabela 2). 

 

Tabela 2: Posições de alunos nos rankings de diversas disciplinas.

	disciplina1	disciplina2	disciplina3	disciplina4	média
aluno1	10	10	10	1	7,75
aluno2	9	9	9	2	7,25
aluno3	8	8	8	3	6,75
aluno4	7	7	7	4	6,25
aluno5	6	6	6	5	5,75
aluno6	5	5	5	6	5,25
aluno7	4	4	4	7	4,75
aluno8	3	3	3	8	4,25
aluno9	2	2	2	9	3,75
Pedro	1	1	1	10	3,25

Na tabela 2, quanto mais baixa a média aritmética de um aluno, mais alto ele está situado no ranking geral.

Tem-se duas estatíticas, a da soma de notas ou pontos, e a da soma de posições, e que fornecem resultados totalmente opostos. Isto mostra como a utilização de uma estatística inadequada ou viciada pode causar danos irreparáveis dentro de um processo seletivo, seja dentro de uma escola ou universidade, seja em um concurso público.

O Axioma da Escolha

    O axioma da escolha, que é um axioma chave da Matemática, não tem validade universal, i.e., pode ser válido, em termos de definição formal, não necessariamente construtiva, para coleções enumeráveis de subconjuntos dos números inteiros, mas não vale para toda a teoria de conjuntos ZF. Isto significa que parte considerável dos teoremas da Matemática, principalmente da Análise Funcional, Teoria de Operadores, Álgebra Linear não tem a validade que se esperava. Por exemplo, não vale necessariamente que todo espaço vetorial admite uma base. Se não, vejamos:

     Lema de Zorn: Todo conjunto parcialmente ordenado, em que toda cadeia admita um majorante, admite pelo menos um elemento maximal. (Observe-se que o elemento majorante não pecisa pertencer à cadeia).

    Contra-exemplo:  Seja S a coleção de todos os intervalos fechados do intervalo aberto (0,1).  S é um conjunto parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos.  Toda cadeia em S admite majorante como por exemplo o intervalo fechado [0,1], que não pertence à S.  Porém S não admite um elemento maximal. O intervalo fechado [0,1], embora possa ser um candidato natural, não é um elemento maximal de S, pois por definição não pertence a S.    

     Em ZF são equivalentes: 1) axioma da escolha; 2) Lema de Zorn; 3) Tricotomia ( para todos x, y, tem-se x<=y ou y <=x); 4)  Princípio da Boa Ordem ; 5) Dada uma coleção de conjuntos disjuntos não-vazios, existe um conjunto com um único representante de cada conjunto da coleção. (Ver Elliott Mendelson – Introduction to Mathematical Logic, pg 197, par. 5).

     O contra-exemplo acima implica que as equivalências acima não tem validade universal. Isso quer dizer que devem existir coleção de conjuntos que não admita função escolha, conjunto parcialmente ordenado que não satisfaz o lema de Zorn (p.ex., o contra-exemplo acima), conjunto que não pode ser bem ordenado, e conjunto com elementos x, y, tal que não se consiga decidir se x<=y ou y<=x.  (Aqui <= é uma relação de ordem arbitrária, não necessariamente uma relação de ordem da Aritmética).

PS: A única Matemática com válidade universal é a Matemática Construtivista que, grosso modo, é a que trabalha com os números inteiros e objetos que possam ser construídos.   

PS: Os termos técnicos utilizados são indispensáveis para o texto.