Fractais

Exemplo de fractal:

 

   Fractais são objetos matemáticos definidos por equações ou por  algorítmos, e que apresenta uma certa propriedade geométrica de auto-replicação infinita. Uma certa  parte do objeto é, de um certo modo, igual ao todo. Veja o fractal de triângulos a seguir para entender isso.

    Observe-se que, como um fractal tem auto-replicação infinita, então os objetos da natureza não são, matematicamente falando, fractais, pois estes são infinitos e aqueles são finitos.

    Construção de um fractal:

        Há vários tipos de  métodos de construção de fractais. Todos os que eu conheço são definidos por algum tipo de iteração, finita ou infinita.

        Construção de fractais por equações:  Define-se uma equação iterativa:  Z:=z^n+c, sendo c uma constante complexa (número complexo), e z uma variável complexa, e n un número real. Considera-se um ponto p. Substitui-se na equação, de modo que se obtem p^n+c. Substitui-se outra vez, e assim por diante, até a n-ésima vez.  Considera-se A um conjunto base do plano complexo, e  um conjunto B do plano complexo, tal que A esteja contido em B. Considera-se um conjunto de regras sobre (Z:+z+c, A, B). Pinta-se um ponto p de A de uma dada cor (p. ex. vermelho) se p satisfaz à regra, e de outra cor, se satisfaz a outra regra (p. ex. azul). Pode-se utilizar a regra: p satisfaz  R(n,A,B)  se p pertence a A,  e ao se aplicar a fórmula Z:=z+c n vezes, obtem-se um ponto fora de B.

       Pode-se complicar o quanto se quiser este tipo de algoritmo. Pode-se considerar uma equação, um sistema de equações, um sistema de sistemas de equações, etc.     Quanto mais complexo o sistema de equações, mais complexo tende a ser o fractal.

       Exemplo de fractal geométrico: Parte-se de um triângulo amarelo em fundo azul. Pinta-se de azul o triângulo interno, o triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo em consideração. Pinta-se de azul todos os triângulos interiores dos triângulos obtidos na etapa anterior. Repete-se infinitamente este procedimento. O resultado é um fractal. A seguir está uma representação truncada deste fractal. 

   Há exemplos tridimensionais deste tipo de fractal.

   Outro exemplos:

   

Séries temporais

    Séries temporais são sequências de números ou letras ou o que neles se possa expressar, tais como características ou postos, associados a períodos iguais de tempo.

   Exemplos de séries temporais:

       Temperaturas médias de uma cidade, medidas diariamente.

       Cotação de ação negociada em bolsa de valores.

       Preço médio da saca de café divulgado diariamente.

       Índice de preço ao consumidor divulgado diariamente.

       Série de peças produzidas por uma máquina à qual se atribui o rótulo S = sem defeito ou F = com defeito.

Exemplo: Série temporal de números:

y	10	10.1	12	20.2	13	15	.	.	.
tempo t	1	2	3	4	5	6	.	.	.

Exemplo: Série temporal de uma variedade qualitativa: A = azul, V = verde, Vm= vermelho

y	A	V	A	Vm	A	Vm	.	.	.
tempo t	1	2	3	4	5	6	.	.	.

Exemplo: Série temporal de posto: P = pequeno, M= médio, G= grande, GG= extra grande.

y	P	M	G	GG	GG	M	.	.	.
tempo	1	2	3	4	5	6	.	.	.

Exemplo: Série temporal de variedade qualitativa: S = sucesso, F = fracasso.  Sucesso pode ser, p. ex., uma peça sem defeito, e fracasso pode ser uma peça defeituosa. Este tipo de série temporal aparece em linha de produção.

y	S	S	F	F	S	S	.	.	.
tempo t	1	2	3	4	5	6	.	.	.

  Uma série temporal  pode ser decomposta em quatro componentes: y = T + C + S + I,  a tendência, o componente cíclico, o componente sazonal e o componente de interferência aleatória.

Pode-se escrever y = T x C x S x I, sendo os componentes C, S, I, expressos como percentagens de T .

Números Índices – utilização pelo Estado e pela empresa

   Números índices são números que representam uma medida de uma variável importante para a administração ou para a economia, utilizados tanto pelas entidades de Estado como por empresas privadas.  Podem ser simples ou compostos. Exemplos de números índices compostos são os preços de produtos, individualmente considerados, vendidos nos mercados. Exemplos de números índices compostos são os índices de preço para o consumidor, índices de preços no atacado, índice Dow-Jones, Nasdaq, FTSE. São obtidos por métodos estatísticos, a partir de amostras de elementos significativos.

   Números índices são usados em administração pública para planejamento, tomada de decisões, manutenção de equilíbrio financeiro de projetos implementados pelo Estado, controle e fiscalização de equilíbrio financeiro de obras sob licitação, cálculo orçamentário, planejamento de despesas, elaboração de planos plurianuais, etc.

   Números índices são usados em  finanças para tomada de decisões de compra, venda e investimentos, avaliação de segurança de investimento em empresas e  em ações.

  Utiliza-se tabelas de números índices de uma sequência de períodos, mensais ou anuais,  para se calcular a variação do valor real de salário, variação  do custo de vida, etc.

  Pode-se comparar os números índices de diversas regiões para compará-las. Observe-se que neste caso tem-se uma distribuição espacial de números índices, e eventualmente uma distribuição temporal e espacial de números índices.